基于许忠好《实变函数概要》编写。

集合论

集合及其运算

• 基本概念（略，只列举一些新的符号定义）

  • 余集：设$\Omega$为全集，则$A$的余集定义为$\Omega\setminus A$，记为$A^c$；
  • 对称差：称集合$A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$为集合$A$与$B$的对称差；
  • 直积：$A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}$（也称笛卡尔乘积，注意顺序）

  相关性质：$A\setminus B=A\cap B^c$；$A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$。

• De Morgan公式：设$\Gamma$为一指标集，$\{A_t,t\in\Gamma\}$为任一集簇，则

  $$\left(\bigcup_{t\in\Gamma}A_t\right)^c=\bigcap_{t\in\Gamma}A_t^c,\quad\left(\bigcap_{t\in\Gamma}A_t\right)^c=\bigcup_{t\in\Gamma}A_t^c$$

集合的上、下极限集

• 定义：设$\{A_n,n\geq 1\}$为任一集列，称集合$\{x:x$属于无穷多个$A_n\}$为集列$\{A_n,n\geq 1\}$的上极限集，记为$\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}A_n$；称集合$\{x:x$至多不属于有限个$A_n\}$为集列$\{A_n,n\geq 1\}$的下极限集，记为$\displaystyle\varliminf_{n\to\infty}A_n$.
• 若$\displaystyle\varliminf_{n\to\infty}A_n=\varlimsup_{n\to\infty}A_n\triangleq A$，则称集列$\{A_n,n\geq 1\}$收敛，称$A$为其极限集，记为$\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n$.
• 性质：
  • $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}\subset\varliminf_{n\to\infty}A_{n}\subset\varlimsup_{n\to\infty}A_{n}\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$；
  • $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k},\quad \varliminf_{n\to\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}.$

  第二条可以理解为“上极限集：对任意$n\geq 1$，存在$k\geq n$使其属于$A_k$”，“下极限集：存在$n\geq 1$，使得对任意$k\geq n$，其属于$A_k$”

• 单调集列：
  • 单调不降：集列$\{A_n,n\geq 1\}$满足$A_1\subset A_2\subset\cdots\subset A_n\subset\cdots$；
  • 单调不增：集列$\{A_n,n\geq 1\}$满足$A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_n\supset\cdots$；
  • 二者合称单调集列。
  • 性质：单调集列必有极限集，且若集列单调不降，则$\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$；若集列单调不增，则$\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n$.

示性函数

• 定义：设集合$A\subset X$，称定义在$X$上的函数 $$\chi_A(x)=\begin{cases} 1,x\in A\\ 0,x\in X\setminus A \end{cases}$$ 为集合$A$的示性函数，也记为$I_A(x)$或$\mathbf{1}_A(x)$.
• 性质（略，自行列举）

映射与基数

映射

• 定义：设$X$与$Y$是两个非空集合，若存在一个法则$f$，使得对于$X$中的任一元素$x$，都有$Y$中的唯一确定的元素$y$与其对应，则称$f$是$X$到$Y$的映射，记为$f:X\to Y$.
  • 当映射$f$使得$y$与$x$对应时，称$y$为$x$在映射$f$下的像，记为$y=f(x)$；对于$y\in Y$，称满足$y=f(x)$的所有$x\in X$组成的集合为$y$在映射$f$下的原像，记为$f^{-1}(y)$.

    $f^{-1}(y)$一般不是单元素集，且可能是空集；$

• 像集：对任意的$A\subset X$，记$f(A)=\{y\in Y:$存在$x\in A$使得$y= f(x)\}$为集合$A$在映射$f$下的像集；
  • 原像集：对于任意的$B\subset Y$，记$\displaystyle f^{-1}(B) = \bigcup_{y\in B}f^{-1}(y)$为集合$B$在映射$f$下的原像集;
• 满射：若$f(X)=Y$，称$f$为$X$到$Y$的满射；
  • 单射：若对任意的$y\in Y$，除了$f^{-1}(y)=\varnothing$外，$f^{-1}(y)$皆为单元素集，称$f$为$X$到$Y$的单射；
  • 若$f$既是单射又是满射，称$f$为$X$到$Y$的双射或一一映射；
  • 逆映射：若$f$为$X$到$Y$的单射，则存在$f(X)$到$X$的映射使得对任一$y\in f(X)$，都有唯一的$x\in X$（即满足$f(x)=y$的$x$）与之对应，称这一$f(X)$到$X$的映射为$f$的逆映射，记为$f^{-1}:f(X)\to X$

    注意$f^{-1}$必为$f(X)$到$X$的双射.

  • 复合映射：设$f$为$X$到$Y$的映射，$g$为$f(X)$到$Z$的映射，则存在$X$到$Z$映射，使得对任一$x\in X$，都有唯一的$z=g(f(x))$与之对应。记这个映射为$g\circ f:X\to Z$，称其为映射$f$与$g$的复合映射。

对等与基数

• 对等定义：若存在一个从集合$A$到集合$B$的一一映射，则称$A$与$B$对等，记为$A\sim B$.
  • 对等关系属于等价关系，具有自反性、对称性与传递性。
• Bernstein定理：若集合$A$与$B$的某一子集对等，$B$与$A$的某一子集对等，则$A\sim B$.
  • 特例：若集合$A\sim C$，且$C\subset B\subset A$，则$A\sim B$。

  设$-\infty\leq a< b\leq\infty$，则$(a,b)\sim(-\infty,\infty)$.

• 基数定义：基数用于刻画相互对等的集合的某种共同属性，用$\overline{\overline{A}}$表示。其满足以下性质：
  • 若$A\sim B$，则$\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$；
  • 若存在$C\subset B$使得$A\sim C$（或存在$A$到$B$的一个单射），称$A$的基数不超过$B$的基数，记为$\overline{\overline{A}}\leq\overline{\overline{B}}$或$\overline{\overline{B}}\geq\overline{\overline{A}}$。
    • 若$\overline{\overline{A}}\leq\overline{\overline{B}}$且$\overline{\overline{A}}\neq\overline{\overline{B}}$，则称$A$的基数小于$B$的基数，记为$\overline{\overline{A}}< \overline{\overline{B}}$.
    • 这样Bernstein定理也可表述为：若$\overline{\overline{A}}\leq\overline{\overline{B}},\overline{\overline{B}}\leq\overline{\overline{A}}$则$\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$.

可数集

• 有限集与无限集：若存在正整数$n$,使得集合$A$与集合$\{1,2,\cdots,n\}$对等，称$A$为有限集，且$\overline{\overline{A}}=n$；称不是有限集的集合为无限集。
  • 约定$\varnothing$为有限集，且$\overline{\overline{\varnothing}}=0$.
• 可列集：若集合$A$与正整数集$\{1,2,\cdots\}$对等，称$A$为可列集，其基数记为$\aleph_0$（读作“阿列夫零”）.
• 有限集与可列集统称为可数集。
• 性质：
  • 任何无限集都包含一个可列子集；（可列集是基数最小的无限集）
  • 可列集的任何无限子集必为可列集；
  • 可数个可数集的交、并、差等运算后的结果仍为可数集；特别地，可数个可列集的并必为可列集。
  • 有理数集$\mathbb{Q}$是可列集；
  • 设集合$A$是可数集，$B$是无限集，则$\overline{\overline{A\cup B }}=\overline{\overline{B}}$，即无限集并上一个可数集后基数不发生改变；
  • 集合$A$为无限集的充分必要条件为$A$与其某个真子集对等.

不可数集

• $(0,1)=\{x:0< x< 1\}$不是可数集。称$[0,1]$的基数为连续基数，记为$c$或$\aleph$；
  • $(a,b),[a,b),(-\infty,\infty)$均具有连续基数。
• 无最大基数定理：设$A\neq\varnothing$，$\mathcal{P}(A)$表示$A$的幂集，则$A$与$\mathcal{P}(A)$不对等，且$\overline{\overline{A}}< \overline{\overline{\mathcal{P}(A)}}$
• 连续统假设：不存在集合$A$，使$\aleph_0< \overline{\overline{A}}< c$.

开集

欧氏空间

• 设$X$是一个集合，任意$x,y\in X$,有实数$d(x,y)$与之对应，具有性质：

  • $d(x,y)\geq 0$，取等号当且仅当$x=y$；
  • $d(x,y)=d(y,x)$；
  • 对任意$z\in X$，$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$.

  则称$d(\cdot,\cdot)$为定义在$X$上的距离，称序对$(X,d)$为距离空间。

• 设$x=(x_1,\cdots,x_n)\in\R^n$，称$\displaystyle |x|=\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$为$x$的范数或长度。

  • 称距离空间$(\R^n,d)$为$n$维欧氏空间，其中$d(x,y) =|x - y|$.（也可直接用$\R^n$表示欧氏空间）

• 有界集与无界集：设$E\subset\R^n$，称

  $$\mathrm{diam}E=\sup\{|x-y|:x,y\in E\}$$

  为点集$E$的直径。若$\mathrm{diam}E< \infty$，称$E$为有界集，否则称$E$为无界集。

  • 非空集合$E\subset\R^n$有界当且仅当存在$M>0$，使得对任意的$x\in E$，都有$|x|\leq M$.

• 对于$\mathbb{R}^n$的点列$\{x_n, n \geq 1\}$，若存在$x \in \mathbb{R}^n$，使得$\displaystyle\lim_{n \to \infty} |x_n - x| = 0$，则称$x$为点列$\{x_n, n \geq 1\}$的极限，记为$\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x$,
  并称$\{x_n, n \geq 1\}$为收敛点列。

开集与闭集

• 开集定义：设$x\in\R^n,A\subset\R^n$，
  • 对任意$\epsilon>0$，称集合$\{U(x,\epsilon)\}=\{y\in\R^n:d(x,y)< \epsilon\}$为点$x$的$\epsilon$-邻域；
  • 若存在邻域$U(x,\epsilon)\subset A$，则称$x$为$A$的一个内点；集合$A$的所有内点构成的集合称为$A$的内部，记为$A^\circ$；
  • 若集合$A$满足$A\subset A^\circ$，称$A$为$\R^n$中的开集。规定$\varnothing$为开集。
• 开集性质：
  • $\varnothing,\R^n$都是开集；任意多个开集的并还是开集；有限多个开集的交是开集。
• 闭集定义：设$x \in \mathbb{R}^n, A \subset \mathbb{R}^n$，
  • 任意的$\varepsilon > 0$，邻域$U(x, \varepsilon)$包含$A$的无限多个点，则称$x$为$A$的一个聚点或极限点。集合$A$的所有聚点构成的集合称为$A$的导集，记为$A'$。

  有限集的导集为空集；集合$A$的聚点未必属于$A$

  • 若集合$A$满足$A'\subset A$，则称$A$为$\mathbb{R}^n$中的闭集。称$\overline{A} = A \cup A'$为集合$A$的闭包。
• 导集与闭包的性质：
  • 设$A \subset \mathbb{R}^n$，则
    • $x \in A'\Longleftrightarrow$存在点列$\{x_n, n \geq 1\} \subset A \setminus \{x\}$，使得当$n \to \infty$时，$x_n \to x$；
    • $x \in \overline{A}\Longleftrightarrow$存在$A$中的点列$\{x_n, n \geq 1\} \subset A$，使得当$n \to \infty$时，$x_n \to x$.
  • 若$A, B \subset \mathbb{R}^n$，则$(A \cup B)' = A' \cup B'$；
  • 设$A \subset \mathbb{R}^n$，则$A', \overline{A}$皆为闭集；
  • 若$\{A_n, n \geq 1\} \subset \mathbb{R}^n$，则$\displaystyle\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)' \subset \bigcup_{n=1}^\infty A'_n$未必成立。（反例：$\{A_n\}$为所有有理数集合）
• 闭集性质：
  • $\varnothing$和$\R^n$都是闭集；任意多个闭集的交还是闭集；有限多个闭集的并是闭集。

  $\R^n$中既是开集又是闭集的集合只有$\varnothing$和$\R^n$。$

  • 若$A\subset\R^n$为非空集合，$x\in\R^n$，定义$d(x,A)= \inf\{d(x,y):y\in A\}$。则$A$为闭集$\Longleftrightarrow$对任意$x\in\R^n$，存在$y\in A$，使得$d(x,y)=d(x,A)$.
  • 设$A\subset\R^n$，则$A$是闭集$\Longleftrightarrow$A中的任意收敛点列的极限属于$A$.
• 闭集与开集的关系：设$A\subset\R^n$，则$A$为闭集$\Longleftrightarrow A^c$为开集。
• 稠密性：设$A$和$B$都是$\R^n$的子集，若$\overline{A}\supset B$，则称$A$在$B$中稠密；
  • 特别地，若还有$A\subset B$，则称$A$是$B$的稠密子集；若$(\overline{A})^\circ=\varnothing$，则称$A$为疏朗集或无处稠密集。

    有理数集$\mathbb{Q}$是$\R^1$的稠密子集；有理数集$\mathbb{Q}$在无理数集$\R^1\setminus Q$中稠密；整数集$\Z$是疏朗集。

开集的构造与Borel集

将集合$A$的所有开子集组成的集类记为$\mathcal{O}(A)$.

• 构成区间：设集合$G \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^1), \alpha, \beta \not\in G$，但$(\alpha, \beta) \subset G$，称这样的区间$(\alpha, \beta)$为开集$G$的构成区间。
• 定理：$\mathbb{R}^1$中的非空开集必是可数个互不相交的开区间的并；$\mathbb{R}^1$中的闭集必是从$\mathbb{R}^1$中挖去可数个互不相交的非空开区间所得的集合。
• $\sigma$-代数：定义略（见概率论）。
• Borel $\sigma$-代数：称$\sigma(\mathcal{O}(\R^n))$为Borel $\sigma$-代数，记为$\mathcal{B}(\R^n)$或$\mathcal{B}$。$\mathcal{B}$中的元素称为Borel集。
• 若$E\subset\R^n$是可列个开集的交集，则称$E$为$G_\delta$型集；若$E$是可列个闭集的并集，则称$E$是$F_\sigma$型集。

连续函数

• 定义：设$E \subset \mathbb{R}^n$， $f$是定义在$E$上的实值函数。$x_0 \in E$，若对任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得$f(U(x_0, \delta) \cap E) \subset U(f(x_0), \varepsilon)$，则称$f$在$x_0$处连续。
  • 若$f$在$E$中的每一点处都连续，则称$f$为$E$上的连续函数。$E$上的连续函数全体记为$\mathcal{C}(E)$。
• 连续函数的延拓：若$F \subset \mathbb{R}^n$为闭集，$f \in\mathcal{C}(F)$，且存在$M > 0$，使得对任意的$x \in F$，都有$|f(x)| \leq M$成立，则存在函数$g \in\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)$，使得对任意的$x \in \mathbb{R}^n$，都有$|g(x)| \leq M$成立。
  • 特别地，当$x \in F$时，$g(x) = f(x)$。

Cantor集

• Cantor集的构造：将$[0,1]\subset\R^1$三等分，去掉中间开区间$\displaystyle\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$，记剩下部分为$\displaystyle F_1=\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},1\right]=F_{1,1}\cup F_{1,2}$；再对$F_{1,1},F_{1,2}$三等分，取左右两部分，记为$F_2=F_{2,1}\cup F_{2,2}\cup F_{2,3} \cup F_{2,4}$；以此类推，得到集列$\{F_n,n\geq 1\}$，其中 $$F_n=\bigcup_{i=1}^{2^n}F_{n,i},\quad n=1,2,\cdots$$ 称集合$\displaystyle C=\bigcap_{n=1}^\infty F_n$为Cantor（三分）集。
• 性质：
  • $C$为非空有界闭集；
  • $C=C'$，即$C$为完全集（没有孤立点）；
  • $C$没有内点；
  • $C$是疏朗集；
  • $C$具有连续基数$c$，即$\overline{\overline{C}}=c$；
  • 被挖去的小区间长度和为$1$.

测度论

• 定义广义实数集$\overline{\R}^1=\R^1\cup\{-\infty,\infty\}$，规定以下计算规则（设$a\in\R^1$）：
  • $a\pm\infty=\pm\infty,+\infty+(+\infty)=+\infty,-\infty-(+\infty)=-\infty$；
  • $(\pm\infty)\cdot(\pm\infty)=+\infty,(+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty,\dfrac{a}{\pm\infty}=0$；
  • $$a\cdot(\pm\infty)=\begin{cases} \pm\infty,&a>0\\ 0,&a=0\\ \mp\infty,&a<0 \end{cases}$$

  特别声明$+\infty-(+\infty)$没有意义.

外测度

• 开矩体：称集合$I =\{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in\R^n: a_k< x_k< b_k, a_k,b_k\in\R,a_k< b_k,k=1,2,\cdots,n\}$为$\R^n$中的一个开矩体。规定$I$的长度为 $$|I|=\prod_{k=1}^n(b_k-a_k)$$

  类似可以定义$\R^n$中的闭矩体、半开闭矩体等，其长度均定义为边长乘积。

• L-覆盖：设集合$E\subset\R^n$，若可数个开矩体$I_1,I_2,\cdots$，使得$\displaystyle\bigcup_{k=1}^\infty I_k\supset E$，则称$\{I_1,I_2,\cdots\}$为$E$的一个L-覆盖。
  • 性质：
  1. 若$E\subset F$,则$F$的L-覆盖必是$E$的L-覆盖；
  2. 记$I_k=(-k,k),J_k=(-2k,2k),k=1,2,\cdots$,则$\{I_k,k\geq 1\}$和$\{J_k,k\geq 1\}$都是$\R$的L-覆盖；
  3. 任何集合$E\subset\R^n$都存在一个L-覆盖，且不唯一.
• （Lebesgue）外测度定义：设集合$E\subset\R^n$，称 $$m^*(E)=\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty|I_k|:\{I_k,k\geq 1\}\text{为}E\text{的一个L-覆盖}\right\}$$ 为$E$的Lebesgue外测度。
  • 任何集合$E\subset\R^n$的外测度$m^*(E)$均存在；
  • 单点集的外测度为$0$。
• 称外测度为$0$的集合为零测集。
  • Cantor集，可数集均为零测集。
• 设$I$为开矩体，则$m^*(I)=|I|$.
• 性质：
  1. 非负性：任意$E \subset \mathbb{R}^n$，都有$m^*(E) \geq 0$；
  2. 单调性：若$E_1 \subset E_2$，则$m^*(E_1) \leq m^*(E_2)$；
  3. 次可加性：$\displaystyle m^* \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} m^*(E_k)$.
• 外测度不具有可加性，需要限制条件：
  • 若$A, B \subset \mathbb{R}^n,d(A, B) = \inf\{d(x, y) : x \in A, y \in B\} > 0$，则有 $$m^*(A \cup B) = m^*(A) + m^*(B).$$

测度

测度的引入目的是为了解决外测度的不可加性问题

• 定义（Carathéodory条件，简称卡氏条件）：设$E\subset\R^n$，若对任意的$T\subset\R^n$（也称为试验集），都有 $$m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)$$ 成立，则称$E$为Lebesgue可测集，简称$E$为可测集或$E$可测，记为$E\in\mathcal{M}$（$\mathcal{M}$表示所有可测集组成的全体）；$m^*(E)$称为$E$的测度，记为$m(E)$.
  • 零测集必可测，且测度为$0$；
  • 由外测度的次可加性，卡氏条件可化为$m^*(T)\geq m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)$
• 等价条件：$E\in\mathcal{M}\Longleftrightarrow$任意$A\subset E,B\subset E^c$，有$m^*(A\cup B)=m^*(A)+m^*(B)$
  • 推论：若$E_1,E_2\in\mathcal{M}$，且$E_1\cap E_2=\varnothing$，则对任意的$T\subset\R^n$，都有 $$m^*(T\cap(E_1\cup E_2))=m^*(T\cap E_1)+m^*(T\cap E_2)$$ 特别地，令$T=\R^n$，则 $$m^*(E_1+E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2)$$ （即推出测度的有限可加性）

    在上面的推论中，可以不要求$E_2$可测（因为$(T\cap E_2)\subset E_2\subset E_1^c$）

• 卡氏条件简化版本：$E\in\mathcal{M}\Longleftrightarrow$对任意的开矩体$I$，有 $$|I|\geq m^*(I\cap E)+m^*(I\cap E^c).$$

可测集的性质

1. $E \in \mathcal{M}\Longleftrightarrow E^c \in \mathcal{M}$;
2. 若$E_1, E_2 \in \mathcal{M}$，则$E_1 \cup E_2, E_1 \cap E_2$和$E_1 \setminus E_2$都在$\mathcal{M}$中;
3. 若$E_1, E_2, \dots \in \mathcal{M}$，且当$i \neq j$时，还有$E_i \cap E_j = \varnothing$，则$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{M}$，且 $$m\left(\sum_{k=1}^\infty E_k\right) = \sum_{k=1}^\infty m(E_k)$$ （测度可列可加性）
4. 若$E_1, E_2, \dots \in \mathcal{M}$，则$\bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{M}$.

测度的性质

1. $m(\varnothing) = 0$;
2. $\displaystyle m\left(\sum_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} m(A_k)$；
3. $m(A + B) = m(A) + m(B)$；
4. 若 $A \subset B$，则 $m(A) \leq m(B)$；
5. 若 $A \subset B$, $m(A) < \infty$，则 $m(B \setminus A) = m(B) - m(A)$；
6. 若 $m(AB) < \infty$，则 $m(B \setminus A) = m(B) - m(AB)$；
7. $\displaystyle m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} m(E_k)$

• 测度的上、下连续性：设$\{E_n,n\geq 1\}\in\mathcal{M}$，
  • 测度的下连续性：若$E_1 \subset E_2 \subset \cdots$，则$\displaystyle\lim_{k \to \infty} m(E_k) = m(\lim_{k \to \infty} E_k)$；
  • 测度的上连续性：若$m(E_1) < \infty, \, E_1 \supset E_2 \supset \cdots$，则$\displaystyle\lim_{k \to \infty} m(E_k) = m(\lim_{k \to \infty} E_k)$。

可测集与开集

• $\R^n$中的任意开矩体都是可测集$\Longrightarrow\R^n$中的任意开集都是可测集
  • 闭集为可测集；$G_\delta$型集和$F_\sigma$型集都是可测集；Borel集是可测集。
• 可测集的特征：
  • 对任意的$\epsilon>0$，存在开集$G$和闭集$F$，使得$F\subset E\subset G$，且 $$m(G\setminus E)< \epsilon,\quad m(E\setminus F)< \epsilon$$
  • 存在$G_\delta$型集$G^*$和$F_\sigma$型集$F^*$。使得$G^*\supset E\supset F^*$且 $$m(G^*\setminus E) = m(E\setminus F^*)=0$$

  由此可见，可测集“差不多”就是开（闭）集。

不可测集

• 平移：设集合$A\subset\R^1$，称集合$a+A=\{a+x:x\in A\}$为$A$的一个平移。
• 定理：设$a \in \mathbb{R}^1$。
  1. 对任意的$A \subset \mathbb{R}^1$，有$A = a + ((-a) + A)$。
  2. 设$I$是开区间，则$a + I$也是开区间，且$|a + I| = |I|$；
  3. 设$A \subset \mathbb{R}^1$，则$m^*(a + A) = m^*(A)$；
  4. 若$A \in \mathcal{M}$，则$a + A \in \mathcal{M}$，且$m(a + A) = m(A)$。
• 在$[0,1]$中定义等价关系$\sim$，即若$x,y\in[0,1]$且$x-y\in\mathbb{Q}$，则$x\sim y$。
  • 由此，$[0,1]$被分为一些等价类集合，由选择公理，我们可以在每个等价类中选择且仅选择一个元素，这样构成的集合记为$E$。则$E\subset [0,1]$且$E$是Lebesgue不可测集。
  • 推论：存在两个不相交的实数集$A$和$B$，使得 $$m^*(A\cup B) < m^*(A) + m^*(B).$$

可测函数

• 定义：设$f:E\subset\R^n\rightarrow\overline{R}^1$为定义在可测集$E$上的广义实值函数。若任意$t\in\R^1$， $$E[f>t]\triangleq\{x\in E:f(x)>t\}\in\mathcal{M}$$ 则称$f$为$E$上的（Lebesgue）可测函数，记为$f\in\mathcal{M}(E)$。
• $\mathcal{M}(E)$表示定义在$E$上的可测函数全体，另定义$\mathcal{M}^+(E)=\{f\in\mathcal{M}(E):f\geq 0\}$（表示非负可测函数全体）
• 若$E\subset\R^n$，则$E\in\mathcal{M}\Longleftrightarrow\chi_E(x)\in\mathcal{M}(\R^n)$。
• 可测函数等价命题： $$f\in\mathcal{M}(E)\Longleftrightarrow\forall t\in\R^1, \begin{cases} E[f\geq t]\in\mathcal{M}\\ E[f< t]\in\mathcal{M}\\ E[f\leq t]\in\mathcal{M} \end{cases}$$
• 性质：
  • 若$f,g\in\mathcal{M}(E)$，则 $$\begin{aligned} &cf(c\text{为常数}),\quad f+g,\quad f\cdot g,\quad \frac{f}{g}(g\neq 0),\\ &|f|,\quad\max\{f,g\},\quad\min\{f,g\} \end{aligned}$$ 均为$E$上可测函数。
  • 若$f_n\in\mathcal{M}(E),n\geq 1$，则 $$\sup_{n\geq 1}f_n,\quad\inf_{n\geq 1}f_n,\quad\varlimsup_{n\to\infty}f_n,\quad\varliminf_{n\to\infty}f_n,\quad\lim_{n\to\infty}f_n$$ 均为$E$上可测函数。

简单函数

• 定义：有限个示性函数的线性组合。
• 形式： $$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^ma_k\chi_{E_k}(x)=\begin{cases} a_1,x\in E_1\\\vdots\\a_m,x\in E_m \end{cases}$$ 其中$\displaystyle m\geq 1,E_k\subset E=\sum_{k=1}^mE_k$（$E_k$两两不交），称$f$为定义在$E$上的简单函数。
• 当$E_k$为矩体时，称$f$为阶梯函数。
• 若$E_k\in\mathcal{M}$（$k=1,2,\cdots,m$），则$f\in\mathcal{M}(E)$。
• 记$\mathcal{MS}(E)=\{f\in\mathcal{M}(E):f$为简单函数$\}$，$\mathcal{MS}^+(E)=\{f\in\mathcal{MS}(E):f\geq 0\}$（非负简单可测函数）
  • 若$f,g\in\mathcal{MS}(E)$，则$f+g\in\mathcal{MS}(E)$。

可测函数逼近定理

• 设$f \in \mathcal{M}^+(E)$，则存在$E$上的非负简单可测函数列$\{ \phi_k, k \geq 1 \}$，使得对任意的$x \in E$, $$\phi_k(x) \leq \phi_{k+1}(x), \quad \lim_{k \to \infty} \phi_k(x) = f(x).$$
• 设$f \in \mathcal{M}(E)$，则存在$E$上的简单可测函数列$\{ \psi_k, k \geq 1 \}$，满足 $$|\psi_k(x)| \leq |f(x)|, \quad \lim_{k \to \infty} \psi_k(x) = f(x), \quad x \in E.$$

若$f$有界，上述收敛还是一致的。

• 由此可知，任何收敛的可测简单函数列的极限函数一定是可测函数。

可测函数的收敛性

• “几乎处处”的刻画
  • 设$P(x)$是一个与$x \in E$有关的命题，若$m(\{x \in E; P(x)$不成立$\}) = 0$，称$P(x)$几乎处处成立，记为$P(x)\mathrm{a.e.}\,x \in E$成立。
  • 定义在$E$上的可测函数$f$与$g$几乎处处相等$\Longleftrightarrow m(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\}) = 0$；
  • 定义在$E$上的可测函数$f$几乎处处有限$\Longleftrightarrow m(\{x \in E: |f(x)| = \infty\}) = 0$。

1. 几乎处处收敛
   设$f, f_n, n \geq 1$为定义在$E$上的广义实值函数，若存在$N \subset E$，有$m(N) = 0$，且 $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x), \quad x \in E \setminus N,$$ 则称$\{f_n, n \geq 1\}$在$E$上几乎处处收敛到$f$，记为 $$f_n(x) \to f(x), \quad \text{a.e.} \, x \in E.$$ 或简记为$f_n \xrightarrow{\text{a.e.}} f$。
2. 几乎一致收敛
   设$f, f_n, n \geq 1$为定义在$E$上的广义实值函数，若对任意的$\delta > 0$，存在$E_\delta \subset E$，满足$m(E_\delta) \leq \delta$，且$\{f_n, n \geq 1\}$在$E \setminus E_\delta$上一致收敛于$f$，则称$\{f_n, n \geq 1\}$在$E$上几乎一致收敛到$f$，记为 $$f_n(x) \to f(x), \quad \text{a.un.} \, x \in E.$$ 或简记为$f_n \stackrel{\text{a.un.}}{\longrightarrow} f$.
3. 依测度收敛
   设$f, f_n, n \geq 1$为定义在$E$上的几乎处处有限的可测函数，对任意给定的$\varepsilon > 0$，记 $$E_k(\varepsilon) = \{x \in E : |f_k(x) - f(x)| \geq \varepsilon\}, \quad k = 1, 2, \cdots.$$ 若当$n \to \infty$时，$m(E_n(\varepsilon)) \to 0$，则称$\{f_n, n \geq 1\}$在$E$上依测度收敛到$f$，记为 $$f_n(x) \xrightarrow{m} f(x), \quad x \in E.$$ 或简记为$f_n \xrightarrow{m} f$（或$f_n \Rightarrow f$）。

收敛性之间的关系

依测度收敛性质

• 设$E \subset \mathbb{R}^n$为可测集，$f, g, f_n, g_n, n = 1, 2, \dots$，皆为定义在$E$上几乎处处有限的可测函数。
  1. 设$f_n \xrightarrow{m} f, g_n \xrightarrow{m} g$，则对任意的实数$\alpha$和$\beta$，有$\alpha f_n + \beta g_n \xrightarrow{m} \alpha f + \beta g$成立；
  2. 设$f_n \xrightarrow{m} 0, g_n \xrightarrow{m} 0$，则$f_n g_n \xrightarrow{m} 0$；
  3. 设$m(E) < \infty$且$f_n \xrightarrow{m} f$，则$f_n g_n \xrightarrow{m} f g$；
  4. 设$m(E) < \infty$且$f_n \xrightarrow{m} f, g_n \xrightarrow{m} g$，则$f_n g_n \xrightarrow{m} f g$。

可测函数与连续函数

• 若$E\subset\mathcal{M},f\in\mathcal{C}(E)$，则$f$是$E$上的可测函数（$f\in\mathcal{M}(E)$）
• 引理：设$F_1,\cdots,F_m$为闭集，$\displaystyle F=\sum_{k=1}^mF_k$，则$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^ma_k\chi_{F_k}(x)$为$F$上的连续函数。
• Lusin定理：设$f$为$E$上几乎处处有限的可测函数，则任意$\delta>0$，存在闭集$E_\delta\subset E$，使$f\in\mathcal{C}(E_\delta)$且$m(E\setminus E_\delta)< \delta$。
  • 推论（结合连续函数延拓）：设$E\subset\R^n,f\in\mathcal{M}(E)$，则对任意$\epsilon>0$，存在$g\in\mathcal{C}(\R^n)$使$m(\{x\in E:f(x)\neq g(x)\})< \epsilon$，且如果$f$有界，则$g$有界。
• 支集：设$f$为定义在$E\subset\R^n$上的函数，则称集合$\{x\in E:f(x)\neq 0\}$的闭包为$f$的支集（也称支撑集），记为$\text{supp}(f)$。
  • 若$\text{supp}(f)$有界（即为紧集），则称$f$为有紧支集的函数。
• 推论的推论：设$E\subset\R^n$有界，$f\in\mathcal{M}(E)$，则对任意$\epsilon>0$，存在$g\in\mathcal{C}(\R^n)$且有紧支集，满足$m(\{x\in E:f(x)\neq g(x)\})< \epsilon$。
  • 由此可得可测函数“差不多”是连续函数。

可积函数

Lebesgue积分的定义和性质

1. 非负简单可测函数（$f\in\mathcal{MS}^+(E)$）
   • 设$\displaystyle f=\sum_{k=1}^m a_k\chi_{E_k}(x)$，定义$f$在$E$上的Lebesgue积分 $$\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^m a_k\cdot m(E_k)$$
   • 注：积分的计算不依赖$f$的表达式（即$E_k$的取法）
   • 单调性：若$\mathcal{MS}^+(E),f\leq g\, \text{a.e.}$，则$\displaystyle \int_Ef\leq\int_Eg$。
2. 非负可测函数（$f\in\mathcal{M}^+(E)$）
   • 使用非负简单可测函数列逼近： $$\{f_n(x),n\geq 1\}\subset\mathcal{MS}^+(E),\quad f_1(x)\leq\cdots\leq f_n(x)\leq\cdots,\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$$ 上述条件也记为$f_n\uparrow f\ \text{a.e.} \ x\in E$。
   • 定义$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\mathrm{d}x$为$f$在$E$上的Lebesgue积分，同样记为$\displaystyle\int_{E}f(x)\mathrm{d}x$。
   • 非负可测函数的Lebesgue积分一定存在，且不依赖$\{f_n(x)\}$的选取。事实上，对任意单调非负简单可测函数列$\{f_n,n\geq 1\}$满足$f_n\uparrow f\ \text{a.e.} \ x\in E$，有 $$\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)\mathrm{d}x=\sup\left\{\int_Eg(x)\mathrm{d}x:g\in\mathcal{MS}^+(E),g(x)\leq f(x),x\in E\right\}$$
   • 同样有单调性（略）
3. 所有可测函数（$f\in\mathcal{M}(E)$）【记$f^+(x)=\max\{f(x),0\},f^-(x)=\max\{-f(x),0\}$】
   • 如果$\displaystyle\int_E f^+(x)\mathrm{d}x< \infty$或$\displaystyle\int_E f^-(x)\mathrm{d}x< \infty$，则称$f$的Lebesgue积分存在，记$f\in\overline{\mathcal{L}}(E)$；若二者同时成立，则称$f$Lebesgue可积，记为$f\in\mathcal{L}(E)$。
   • 在上述条件下，定义 $$\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f^+(x)\mathrm{d}x-\int_{E}f(x)^-\mathrm{d}x$$
   • 结论：
     1. $\mathcal{L}(E)\subset\overline{\mathcal{L}}(E),\mathcal{M}^+(E)\subset\overline{\mathcal{L}}(E)$；
     2. 当$m(E)< \infty$时，若$\displaystyle E = \sum_{k=1}^m E_k, \, E_k \in \mathcal{M},f(x) = \sum_{k=1}^m a_k \chi_{E_k}(x) \in \mathcal{M}S(E)$为定义在$E$上的简单可测函数，则 $$\int_E f(x)\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^m a_km(E_k)$$
     3. 当$m(E) < \infty$时，$\mathcal{M}S(E) \subset \mathcal{L}(E)$。

Lebesgue积分的性质

1. 线性性：若$f \in \overline{\mathcal{L}}(E)\ (\mathcal{L}(E))$，$c \in \mathbb{R}$，则$cf \in \overline{\mathcal{L}}(E)\ (\mathcal{L}(E))$，且$\displaystyle\int_E cf = c \int_E f$；
2. 可加性：若$f, g \in \overline{\mathcal{L}}(E)\ (\mathcal{L}(E))$，$\displaystyle\int_E f + \int_E g$有意义，则$f + g \in \overline{\mathcal{L}}(E)\ (\mathcal{L}(E))$且$\displaystyle \int_E (f + g) = \int_E f + \int_E g$；
3. 单调性：设$f, g \in \overline{\mathcal{L}}(E)$，若$f(x) \leq g(x) \ \text{a.e.} \ x \in E$，则$\displaystyle\int_E f \leq \int_E g$；
4. 定义域收缩：设$F \subset E,F \in \mathcal{M}$，则$\overline{\mathcal{L}}(E) \subset \overline{\mathcal{L}}(F)$，$\mathcal{L}(E) \subset \mathcal{L}(F)$且$\displaystyle\int_F f(x) \mathrm{d}x = \int_E (f(x) \chi_F(x)) \mathrm{d}x$；
5. 积分域可加性：设$A,B \in \mathcal{M},E = A + B$，若$f \in \overline{\mathcal{L}}(E)$，则$\displaystyle\int_E f = \int_A f + \int_B f$；
6. 比较判别：设$f \in \mathcal{M}(E),g \in \mathcal{L}(E)$，且$f(x) \leq g(x) \ \text{a.e.} \ x \in E$或者$f(x) \geq g(x) \ \text{a.e.} \ x \in E$，则$f \in \overline{\mathcal{L}}(E)$；
7. 可积比较判别：设$f \in \mathcal{M}(E),g \in \mathcal{L}(E)$，且$|f(x)| \leq g(x) \ \text{a.e.} \ x \in E$，则$f \in \mathcal{L}(E)$；
8. 有界可积：设$f \in \mathcal{M}(E),m(E) < \infty$，且$|f(x)| \leq M < \infty \ \text{a.e.} \ x \in E$，则$f \in \mathcal{L}(E)$；
9. 设$f(x) = 0 \ \text{a.e.} \ x \in E$，则对任意的$A \in \mathcal{M},A \subset E$，有$\displaystyle\int_A f = 0$；
10. 设$\displaystyle m(E) = 0\Longrightarrow\forall f \in \mathcal{M}(E),\int_E f = 0$；
11. 绝对值积分：设$\displaystyle f \in \overline{\mathcal{L}}(E)\Longrightarrow\left| \int_E f \right| \leq \int_E |f|$；
12. 绝对可积等价：$\displaystyle f \in \mathcal{L}(E)\Longleftrightarrow|f| \in \mathcal{L}(E)$。
    • 注：此性质为与黎曼积分的最大差别：黎曼积分绝对值可积推不出原函数可积。

• 切比雪夫不等式：设$f\in\mathcal{M}(E)$，对任意$\epsilon>0$，记$E_\epsilon=\{x\in E:|f(x)|\geq\epsilon\}$，则 $$\epsilon\cdot m(E_\epsilon)\leq\int_E|f|.$$
  • 推论1：若$f\in\mathcal{M}^+(E)$，则$\displaystyle\int_Ef=0\Longrightarrow f(x)=0 \ \text{a.e.} \ x \in E$（即上述性质9逆命题成立）
  • 推论2：若$f\in\mathcal{L}(E)$，则$|f(x)|< \infty\ \text{a.e.} \ x \in E$（$f$几乎处处有限）
• 积分的绝对连续性：若$f\in\mathcal{L}(E)$，则$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0$使得当$A\subset E,m(A)< \delta$时，$\displaystyle\int_A|f|< \epsilon$。

积分收敛定理

1. Levi单调收敛定理：设$\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}^+(E)$，且$f_n \uparrow f\ \text{a.e.} \ x \in E$，则 $$\lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x = \int_E f(x)\mathrm{d}x.$$
   • 推论：
     1. 设$\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E),\,f_n \downarrow f\ \text{a.e.} \ x \in E$，且$f_1\in\mathcal{L}(E)$，则上述结论同样成立；
     2. 设$\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E),\,f_n \uparrow f\ \text{a.e.} \ x \in E$。函数$g \in \mathcal{L}(E)$且对任意的$n \geq 1,f_n(x) \geq g(x)\ \text{a.e.} \ x \in E$，则上述结论同样成立；
     3. （逐项积分）设$\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}^+(E)$，则 $$\int_E\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^\infty\int_E f_n(x)\mathrm{d}x.$$
     4. 设$\displaystyle f\in\overline{\mathcal{L}}(E),A=\sum_{n=1}^\infty A_n\subset E$，则 $$\int_A f(x)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^\infty\int_{A_n} f(x)\mathrm{d}x.$$
2. Fatou引理：设$\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}^+(E)$，则 $$\int_E\varliminf_{n\to\infty}f_n(x)\mathrm{d}x\leq \varliminf_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)\mathrm{d}x.$$
   • 推论：设$\{f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E)$，则
     • 若存在函数$g \in \mathcal{L}(E)$使得$f_n \geq g\ \text{a.e.}$，则 $$\int_E \varliminf_{n \to \infty} f_n(x) \mathrm{d}x \leq \varliminf_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x.$$
     • 若存在函数$h \in \mathcal{L}(E)$使得$f_n \leq h\ \text{a.e.}$，则 $$\int_E \varlimsup_{n \to \infty} f_n(x) \mathrm{d}x \geq \varlimsup_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x.$$

     由此推论可得下述控制收敛定理。

3. 控制收敛定理：设$\{f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E)$，且存在函数$g \in \mathcal{L}(E)$使得$|f_n| \leq g\ \text{a.e.}$。若$f_n\stackrel{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f$或$f_n\stackrel{m}{\longrightarrow}f$，则$f\in\mathcal{L}(E)$且 $$\lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x = \int_E f(x)\mathrm{d}x.$$
   • 推论1（有界收敛定理）：设$\{f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E)$，且存在常数$M>0$使得$|f_n| \leq M\ \text{a.e.}$。若$f_n\stackrel{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f$或$f_n\stackrel{m}{\longrightarrow}f$，则$f\in\mathcal{L}(E)$且 $$\lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x = \int_E f(x)\mathrm{d}x.$$
   • 推论2（积分号下求导）：设$f(x, y)$是$E \times (a, b)$上的广义实函数。固定$y$时$f(x, y) \in \mathcal{L}(E)$；固定$x$时导数$\displaystyle f'_y(x, y) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} f(x, y)$存在。若存在$F(x) \in \mathcal{L}(E)$使得$|f'_y(x, y)| \leq F(x)$对任意的$(x, y) \in E \times (a, b)$都成立，则函数$\displaystyle I(y) = \int_E f(x, y)\mathrm{d}x$可导，且 $$\frac{d}{dy} I(y) = \int_E f'_y(x, y)\mathrm{d}x,$$ 即 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( \int_E f(x, y)\mathrm{d}x \right) = \int_E \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} f(x, y) \right) \mathrm{d}x.$$

可积函数与连续函数

• 定理：设$f \in \mathcal{L}(E)$，则对任意的$\varepsilon > 0$，存在函数$g \in \mathcal{MS}(E) \cap \mathcal{L}(E)$且 $$\int_E |f(x) - g(x)|\mathrm{d}x < \epsilon$$ 成立。
  • 上述定理中将$g$的限制改为$\R^n$上的连续函数，则结论仍然成立。
• 由此可得可积函数“差不多”是可测函数。

Lebesgue积分与Riemann积分

• 黎曼可积函数特征
  1. 设$f$为$[a,b]$上有界实值函数，则$f\in\mathcal{R}[a,b]$（黎曼可积）当且仅当$\{x\in[a,b]:x$为$f$上的不连续点$\}$为零测集。
  2. 若$f\in\mathcal{R}[a,b]$，则$f\in\mathcal{L}[a,b]$且 $$(\mathcal{L})\int_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x=(\mathcal{R})\int_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x$$
• Lebesgue积分与Riemann积分的关系：设$f$为定义在区间$[a, \infty)$上的实值函数，且对任意的$b > a$，$f$在$[a, b]$上有界且几乎处处连续，则 $$(\mathcal{L}) \int_{[a, \infty)} |f(x)| \mathrm{d}x = (\mathcal{R}) \int_a^\infty |f(x)| \mathrm{d}x$$ 即$f$在$[a, \infty)$上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分$\displaystyle(\mathcal{R}) \int_a^\infty f(x) \mathrm{d}x$绝对收敛。
  当$\displaystyle(\mathcal{R}) \int_a^\infty f(x) \mathrm{d}x$绝对收敛时， $$(\mathcal{L}) \int_{[a, \infty)} f(x) \mathrm{d}x = (\mathcal{R}) \int_a^\infty f(x) \mathrm{d}x.$$

  即如果函数$f$在一个区间上勒贝格&黎曼可积，则两个积分值相同。

Fubini定理

• 设$f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$，则
  1. 对几乎所有的$x \in \mathbb{R}$，$f(x, y)$作为$y$的函数 Lebesgue 可积；
  2. $\displaystyle I(x) \triangleq \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \mathrm{d}y \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^1)$；
  3. $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} I(x) \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$。
  • 此定理可推广至$x\in\R^p,y\in\R^q\Longrightarrow f(x,y)\in\mathcal{L}(\R^{p+q})$；
  • 定义域可限制为$E\subset\R^2$（$f\in\mathcal{L}(E)$）；
• 推论（重积分变量交换）：若$f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$，则 $$\int_{\mathbb{R}} dx \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}y \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \mathrm{d}x$$
• 其有一个“母定理”——Tonelli定理如下：设$f \in \mathcal{M}^+(\mathbb{R}^2)$，则
  1. 对几乎所有的$x \in \mathbb{R}$，$f(x, y)$作为$y$的函数 Lebesgue 可测；
  2. $\displaystyle I(x) \triangleq \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \mathrm{d}y$几乎处处存在，且$I(x) \in \mathcal{M}^+(\mathbb{R}^1)$;
  3. $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} I(x) \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$。

微分与积分

本章主要目标是将黎曼积分的牛顿莱布尼茨公式推广到Lebesgue积分上。

单调函数与有界变差函数

• 设$f$为$[a,b]$上的单调函数，则$f$的不连续点全体为可数集。
  • 推论：若$f$为$[a,b]$上的单调函数，则$f\in\mathcal{R}[a,b]$，进而$f\in\mathcal{L}[a,b]$。
• 单调函数可微性定理：设$f$为$[a,b]$上单调不减的实值函数，则$f$在$[a,b]$上几乎处处可微，导函数$f'\in\mathcal{L}[a,b]$且$\displaystyle\int_a^bf'(x)\mathrm{d}x\leq f(b)-f(a)$。
• 有界变差函数定义：设$f$为定义在$[a, b]$上的实值函数，$P = \{x_i, i = 0, 1, \cdots, n\}$为$[a, b]$的任一分割，且$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$。我们称 $$V_f(P) = \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})|$$ 为$f$关于分割$P$的变差。称 $$\bigvee_a^b (f) = \sup\{V_f(P) : P \text{ 为 } [a, b]\text{ 的分割}\}$$ 为$f$在$[a, b]$上的全变差。
  若$V(f) < \infty$，称$f$为$[a, b]$上的有界变差函数，记为$f \in\mathcal{BV}[a, b]$(即$\mathcal{BV}[a, b]$表示$[a, b]$上的有界变差函数的全体组成的集合)。
• 有界变差函数性质：
  • 若$f \in\mathcal{BV}[a, b]$，则$f$有界，且对任意实数$\alpha$，$\alpha f\in\mathcal{BV}[a,b]$且$\displaystyle\bigvee_a^b(\alpha f)=|\alpha|\bigvee_a^b(f)$；
  • 若$f,g \in\mathcal{BV}[a, b]$，则
    • $f+g\in\mathcal{BV}[a, b]$且$\displaystyle\bigvee_a^b(f+g)\leq \bigvee_a^b(f)+\bigvee_a^b(g)$；
    • $f\cdot g\in\mathcal{BV}[a, b]$。
  • 设$f$为$[a,b]$上的实值函数，则对任意$c\in(a,b),\displaystyle\bigvee_a^b(f)=\bigvee_a^c(f)+\bigvee_c^b(f)$。
  • 单调函数一定是有界变差函数；连续函数不一定是有界变差函数。
• 全变差函数定义：设$f\in\mathcal{BV}[a, b]$，则$f$上的全变差函数为$\displaystyle T_f(x)\coloneqq\bigvee_a^x(f),x\in[a,b]$。由此可知全变差函数一定非负且关于$x$单调不减。
  • 性质：$f$在$x\in [a,b]$上左（右）连续$T_f$在$x\in[a,b]$处左（右）连续。
• Jordan分解定理：函数$f\in\mathcal{BV}[a,b]\Longleftrightarrow f$可表示为$[a,b]$上两个单调不减函数之差。
  • 推论：设$f\in\mathcal{BV}[a,b]$，则
    • $f$在$[a,b]$上几乎处处连续；
    • $f\in\mathcal{R}[a,b]$；
    • $f$在$[a,b]$上几乎处处可微且$f'\in\mathcal{L}[a,b]$。

微积分基本定理

• 绝对连续函数定义：设$f$为定义在$[a, b]$上的实值函数，若任意的$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对$[a, b]$中的任意有限个互不相交的开子区间$\{(a_i, b_i) : i = 1, 2, \dots, n\}$，当$\displaystyle\sum_{i=1}^n (b_i - a_i) < \delta$时，都有$\displaystyle\sum_{i=1}^n |f(b_i) - f(a_i)| < \epsilon$成立，我们称$f$为$[a, b]$上的绝对连续函数，记为$f \in\mathcal{AC}[a, b]$。
  • 绝对连续函数一定一致连续，故也是连续函数（$\mathcal{AC}[a,b]\subset\mathcal{C}[a,b]$）；
  • $\mathcal{AC}[a,b]$为线性空间，即对数乘运算和加法运算封闭；
  • 定义在$[a,b]$上利普希茨连续函数是绝对连续函数。
• 其他性质：
  • 设$f\in\mathcal{L}[a,b]$，则函数$\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\in\mathcal{AC}[a,b]$。
  • 定义在$[a,b]$上绝对连续函数一定是有界变差函数（$\mathcal{AC}[a,b]\subset\mathcal{BV}[a,b]$）；
    • 推论：若$f\in\mathcal{AC}[a,b]$，则$f$在$[a,b]$上几乎处处可微且$f'\in\mathcal{L}[a,b]$。
  • 设$f\in\mathcal{AC}[a,b]$，则$T_f\in\mathcal{AC}[a,b]$。反之，若$f\in\mathcal{BV}[a,b]$且$T_f\in\mathcal{AC}[a,b]$，则$f\in\mathcal{AC}[a,b]$。
• 积分与微分转换：设$f\in\mathcal{L}[a,b]$，则$\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t$在$[a,b]$上几乎处处可微，且$F'(x)=f(x)\,\text{a.e.}\,x\in[a,b]$。
• 设$f\in\mathcal{AC}[a,b]$，$f'(x)=0\,\text{a.e.}\,x\in[a,b]$，则$f$恒为常数。
• 微积分基本定理：设$f$为定义在$[a,b]$上的实值函数，则 Newton-Leibniz 公式 $$\int_a^xf'(t)\mathrm{d}t=f(x)-f(a)$$ 成立的充要条件是$f\in\mathcal{AC}[a,b]$。
• 分部积分公式：设$f,g\in\mathcal{AC}[a,b]$，则 $$\int_a^bf(x)g'(x)\mathrm{d}x=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf'(x)g(x)\mathrm{d}x.$$