使用教材为王高雄等《常微分方程》（第四版）。

常微分方程的基本概念：

1. $n$阶常微分方程：$\displaystyle F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\cdots,\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}\right)=0$
2. 线性$n$阶常微分方程：$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(x)y=f(x)$【本课程研究重点】
3. 常微分方程的解分为显式解（$y=\varphi(x,c)$，$c$为常数）和隐式解（$\Phi(x,y,c)=0$，没有微分）
4. 通解（使用不定积分）与特解（给定初值，使用定积分求解，需确定所有常数项，也称柯西问题）

一阶微分方程的初等解法

变量分离方程

• 形式：$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)\varphi(y)$，其中$f,\varphi$分别是关于$x$和$y$的连续函数。
• 解法：
  • 若$\varphi(y)=0$有解$y=a$，则$y\equiv a$是方程的解；
  • $\varphi(y)\neq 0$，则通解： $$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y)}&=f(x)\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y)}&=\int f(x)\mathrm{d}x+C \end{aligned}$$ 注意$C$可能有取值限制（取决于定义域）
  • 若存在初值$y(x_0)=y_0$，则通解为 $$\int_{y_0}^{y(x)}\frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y)}=\int_{x_0}^xf(x)\mathrm{d}x$$

可化为变量分离方程的类型

1. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g\left(\frac{y}{x}\right)$【也称为齐次方程】
   • 解法：令$u=\dfrac{y}{x}$，则 $$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=&x\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u=g(u)\\ \Longrightarrow&x\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=g(u)-u \end{aligned}$$ 即转化为变量分离方程。
2. $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$
   1. 若$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}=k\quad \left(\left|\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right|=0,\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{c_1}{c_2}=k\right)$，则$y=kx+c$（$c$为常数）；
   2. 若$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=k\neq\dfrac{c_1}{c_2}$，则设$u=a_2x+b_2y$，有 $$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a_2+b_2\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a_2+b_2\dfrac{ku+c_1}{u+c_2}$$ 转为变量分离方程。
      • $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)$同理：$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f\left(a_2+b_2\dfrac{ku+c_1}{u+c_2}\right)$
   3. $\dfrac{a_1}{a_2}\neq\dfrac{b_1}{b_2}\quad \left(\left|\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right|\neq 0\right)$
      • $c_1=c_2=0$，则$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{a_1x+b_1y}{a_2x+b_2y}=g\left(\dfrac{x}{y}\right)$，情况同1；
      • $c_1,c_2$不全为$0$，那么作平移变换$\begin{cases}X=x-\alpha\\Y=y-\beta\end{cases}$，其中$(\alpha,\beta)$为方程$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}$的唯一解，则 $$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}=g\left(\frac{X}{Y}\right)$$ 情况同1。

• 两道例题：

1. $\displaystyle f(x)\int_{0}^x f(t)\mathrm{d}t=1$，求$f(x)$。
   • 解：令$\displaystyle F(x)=\int_{0}^x f(t)\mathrm{d}t$，则有 $$\begin{cases} F'(x)F(x)=1\\ F(0)=0 \end{cases}$$ 解得$F(x)=\pm\sqrt{2x}\hspace{0.5em}(x>0)$，即$f(x)=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2x}}$。
2. 已知$x(t+s)=\dfrac{x(t)+x(s)}{1-x(t)x(s)}$，且$x'(0)$存在，求$x(t)$。
   • 解：因为 $$x(s+t)-x(t)=\frac{1+x^2(t)}{1-x(t)x(s)}x(s)$$ 而$s=t=0$时可得$x(0)=0$，故 $$x'(t)=\lim_{s\to 0^+}\frac{x(s+t)-x(t)}{s}=\lim_{s\to 0^+}\frac{1+x^2(t)}{1-x(t)x(s)}\cdot\frac{x(s)}{s}=(1+x^2(t))x'(0)$$ 所以 $$\arctan(x(t))=x'(0)t+c\stackrel{x(0)=c=0}{\Longrightarrow} x(t)=\tan(x'(0)t).$$

一阶线性微分方程

一阶齐次线性微分方程

• 形式：$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=P(x)y$【属于变量分离方程】
  • 通解：$y=ce^{\int P(x)\mathrm{d}x}$，其中$c$为常数。

一阶非齐次线性微分方程

• 形式：$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=P(x)y+Q(x)$
  • 使用常数变易法求解：设解为$y=c(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}$，则 $$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\underbrace{\frac{\mathrm{d}c(x)}{\mathrm{d}x}\cdot e^{\int P(x)\mathrm{d}x}}_{Q(x)}+\underbrace{c(x)\cdot P(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}}_{P(x)y}\\ \Longrightarrow c(x)&=\int Q(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+\tilde{c} \end{aligned}$$ 故通解为$\displaystyle y=e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\left(\int Q(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+\tilde{c}\right)$。
• 若给定初值$y(x_0)=y_0$，则
  • 齐次方程：$\displaystyle y=ce^{\int_{x_0}^x P(u)\mathrm{d}u}\Longrightarrow c=y_0$；
  • 非齐次方程：通解为 $$\begin{aligned} y(x)&=e^{\int_{x_0}^x P(u)\mathrm{d}u}\left[y_0+\int_{x_0}^xQ(w)e^{-\int_{x_0}^w P(u)\mathrm{d}u}\mathrm{d}w\right]\\ &=y_0e^{\int_{x_0}^x P(u)\mathrm{d}u}+\int_{x_0}^xQ(w)e^{\int_w^x P(u)\mathrm{d}u}\mathrm{d}w. \end{aligned}$$

常数变易法的核心：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解。

• 应用（伯努利方程）：$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=P(x)y+Q(x)y^n\hspace{0.5em}(n\geq 2)$
  1. $y\equiv 0$；
  2. $y\not\equiv 0$时， $$y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^{1-n}P(x)+Q(x)$$ 令$z=y^{1-n}$，则 $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(1-n)(zP(x)+Q(x))$$ 转化为一阶非齐次线性微分方程。

恰当微分方程

回顾：二元函数全微分：$\displaystyle\mathrm{d}u(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$。当$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial y}=0$时，$u(x,y)\equiv c$。

• 形式：$M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$，其中$M(x,y),N(x,y)$在一个矩形区域内是关于$x,y$的连续函数且有一阶连续偏导数，且存在二元函数$u(x,y)$使$\mathrm{d}u=M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y$。
  • $M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$是恰当微分方程的充要条件：$\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$。
  • 由此可求原函数： $$u(x, y) = \int M(x, y) \mathrm{d}x + \int \left[ N(x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int M(x, y) \mathrm{d}x \right] \mathrm{d}y.$$
• 其他求解方法：
  1. 曲线积分法：若$M(x,y),N(x,y)$在一个单连通区域$D$内是关于$x,y$的连续函数且有一阶连续偏导数，则如果$\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial M}{\partial x}$，那么$D$中取任一按段光滑曲线$L$，$\displaystyle\int_L M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y$积分与路径无关。 $$\begin{aligned} &u(x, y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} M(x, y)\mathrm{d}x + N(x, y)\mathrm{d}y\\ \Longrightarrow&\begin{cases} \displaystyle u(x, y) = \int_{x_0}^x M(s, y_0) \mathrm{d}s + \int_{y_0}^y N(x, t) \mathrm{d}t\\[10pt] \displaystyle u(x, y) = \int_{y_0}^y N(x_0, s) \mathrm{d}s + \int_{x_0}^x M(t, y) \mathrm{d}t. \end{cases} \end{aligned}$$
  2. 分项组合法（“凑微分”）
     常见二元函数全微分：

     $y\mathrm{d}x + x\mathrm{d}y = \mathrm{d}(xy)$	$\displaystyle\frac{y\mathrm{d}x - x\mathrm{d}y}{y^2} = \mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right)$
     $\displaystyle\frac{-y\mathrm{d}x + x\mathrm{d}y}{x^2} = \mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)$	$\displaystyle\frac{y\mathrm{d}x - x\mathrm{d}y}{xy} = \mathrm{d}\left(\ln\left\vert\frac{x}{y}\right\vert\right)$
     $\displaystyle\frac{y\mathrm{d}x - x\mathrm{d}y}{x^2 + y^2} = \mathrm{d}\left(\arctan\frac{y}{x}\right)$	$\displaystyle\frac{y\mathrm{d}x - x\mathrm{d}y}{x^2 - y^2} = \frac{1}{2}\mathrm{d}\left(\ln\left\vert\frac{x - y}{x + y}\right\vert\right)$

积分因子

• 定义：如果存在连续可微函数$\mu(x, y) \neq 0$，使得 $$\mathrm{d}\nu(x,y)=\mu(x, y) M(x, y)\mathrm{d}x + \mu(x, y) N(x, y)\mathrm{d}y = 0$$ 为一恰当微分方程，则称$\mu(x, y)$为方程$M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$的积分因子。
• 寻找方法： $$\frac{\partial(\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial(\mu N)}{\partial x}\Longleftrightarrow N \frac{\partial \mu}{\partial x} - M \frac{\partial \mu}{\partial y} = \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right) \mu$$
  1. 要求$\mu$只与$x$有关$\Longrightarrow\displaystyle\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\mathrm{d}x$只与$x$有关（设为$\varphi(x)$），此时$\mu=e^{\int\varphi(x)\mathrm{d}x}$；
  2. 要求$\mu$只与$y$有关$\Longrightarrow\displaystyle\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}\mathrm{d}x$只与$y$有关（设为$\varphi(y)$），此时$\mu=e^{\int\varphi(y)\mathrm{d}y}$。
• 积分因子不唯一：若$\mu(x,y)$为$M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y=\mathrm{d}\nu(x,y)$的积分因子，则任意可微函数$f(\nu)$，$f'(\nu)\mu(x,y)$也是积分因子。
• 应用例：$ax\mathrm{d}y+by\mathrm{d}x=0$（$a,b$为常数）
  • $\mathrm{d}(x^by^a)=ax^by^{a-1}\mathrm{d}y+bx^{b-1}y^a\mathrm{d}x$，故积分因子可取$x^{b-1}y^{a-1}$。

注：使用积分因子构造恰当微分方程时，要考虑积分因子可能为$0$的情况。

一阶隐式微分方程

• 形式：$F(x,y,y')=0$，且无法直接转化为$y'=f(x,y)$求解。分为以下四种情形：

1. $y=f(x,y')$
   令$y'=p,y=f(x,p)$，方程两边对$x$求导： $$p=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\cdot\frac{\partial p}{\partial x}$$ 转化为一阶微分方程$p'=g(x,p)$，求解情形：
   1. $p=\varphi(x,c)\Longrightarrow y=f(x,\varphi(x,c))$；
   2. $x=\psi(p,c)\Longrightarrow\begin{cases}y=f(\psi(p,c),p)\\x=\psi(p,c)\end{cases}$；（$p$为参数，下同）
   3. $\Phi(x,p,c)=0\Longrightarrow\begin{cases}y=f(x,p)\\\Phi(x,p,c)=0\end{cases}$
2. $x=f(y,y')$
   令$y'=p$，则$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{p}$。方程两边对$y$求导： $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{\mathrm{d}f(y,p)}{\mathrm{d}y}\Longrightarrow \frac{1}{p}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial p}\cdot\frac{\partial p}{\partial y}$$ 转化为一阶微分方程$\dfrac{\partial p}{\partial y}=g(y,p)$：
   • 通解为$\Phi(y,p,c)=0\Longrightarrow\begin{cases}x=g(y,p)\\\Phi(x,p,c)=0\end{cases}$
3. $F(x,y')=0$（不显含$y$）
   令$p=y'$，则$F(x,p)=0$。将其看作平面上一条曲线，寻找合适的参数表示： $$\begin{cases} x=\varphi(t)\\ p=\psi(t) \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} x=\varphi(t)\\ \displaystyle y=\int\psi(t)\varphi'(t)\mathrm{d}t+C \end{cases}$$
4. $F(y,y')=0$（不显含$x$）
   类似地，寻找$F(y,y')=0$合适的参数表示： $$\begin{cases} y=\varphi(t)\\ p=y'=\psi(t) \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} \displaystyle x=\int\frac{\varphi'(t)}{\psi(t)}\mathrm{d}t+C\\ y=\varphi(t) \end{cases}$$

前两个情况通过换元+求导得到一阶显式微分方程，后两个情况则通过参数方程进行求解。

一阶微分方程解的存在定理

解的存在唯一性定理

• 考虑方程$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$，设$f(x,y)$为一矩形区域 $$R=\{(x,y):|x-x_0|\leq a,|y-y_0|\leq b\}$$ 上的连续函数。
  • 利普希茨条件：若存在常数$L>0$，使 $$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq L|y_1-y_2|$$ 对任意$(x,y_1),(x,y_2)\in R$均成立，则称$f(x,y)$在$R$上关于$y$满足利普希茨（Lipschitz）条件，$L$为利普希茨常数。
• 定理：若$f(x,y)$在矩形域$R$上连续且关于$y$满足利普希茨条件，则方程$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$有唯一解$y=\varphi(x)$：
  • 定义在$|x-x_0|\leq h$上，其中$\displaystyle h=\min\left(a,\frac{b}{M}\right),M=\max_{(x,y)\in R}|f(x,y)|$；
  • 连续且满足初值条件$y_0=\varphi(x_0)$。
• 存在唯一解的证明与构造使用Picard逐步逼近法：

逐步逼近法

推理步骤（具体证明见书）：

1. 证明求解微分方程初值问题$\begin{cases}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}$等价于求积分方程 $$y=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y)\mathrm{d}t$$ 的（连续）解；
2. 构造函数列$\{\varphi_n(x)\}$，满足 $$\begin{aligned} \varphi(x)&=y_0\\ \varphi_{n+1}(x)&=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_{n}(t))\mathrm{d}t \end{aligned}$$ 证明对任意$n$，$\varphi_n(x)$在$x_0\leq x\leq x_0+h$上有定义，连续且有$|\varphi_n(x)-y_0|\leq b$；
3. 证明$\{\varphi_n(x)\}$在$x_0\leq x\leq x_0+h$上一致收敛于$\varphi(x)$，且$f(t,\varphi_n(t))\rightrightarrows f(t,\varphi(t))$；
4. 证明$\varphi(x)$为积分方程的（连续）解；
5. 证明$\varphi(x)$为方程的唯一解。
   • 注：关于这个命题的证明，除了书上的方法之外，还可以使用格朗沃尔（Gronwall）不等式：
     • 设$K$为非负常数，$f(t)$和$g(t)$为在区间$[\alpha, \beta ]$上的连续非负函数，且满足不等式 $$f(t) \leq K + \int_{\alpha}^{t} f(s)g(s) \, \mathrm{d}s, \quad \alpha \leq t \leq \beta,$$ 则有 $$f(t) \leq K \exp\left(\int_{\alpha}^{t} g(s) \, \mathrm{d}s\right), \quad \alpha \leq t \leq \beta.$$ 特别地，取$K=0$时，$f(t)\equiv 0,\,\alpha\leq t\leq\beta$。

• 注：
  1. 存在唯一性定理中利普希茨条件有时难以检验，此时可以用充分条件（偏导数有界）替代。即若$f(x,y)$在$R$上有对$y$的连续偏导数，那么条件可替换为 $$\max_{(x,y)\in R}\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right|\leq L$$
  2. 存在唯一性定理中，矩形域$R$的$y$范围可以推广到$\R$（即$f(x,y)$在$[x_0-a,x_0+a]\times\R$上连续且满足利普希茨条件）
  3. 对于一阶线性微分方程$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=P(x)y+Q(x)$，如果$P(x),Q(x)$在$[x_0-a,x_0+a]$上连续，则存在唯一性定理成立（非齐次通解就是方程的所有解）
  4. 对于一阶隐式微分方程$F(y,y',x)=0$，如果在点$(x_0, y_0, y_0')$的某一邻域中，
     • $F(x, y, y')$对所有变元$(x, y, y')$连续，且存在连续偏导数；
     • $F(x_0, y_0, y_0') = 0$；
     • $\displaystyle\frac{\partial F(x_0, y_0, y_0')}{\partial y'} \neq 0$；
       则方程存在唯一解 $$y = y(x), \quad |x - x_0| \leq h \quad (h \text{为足够小的正数})$$
     满足初值条件 $$y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_0'.$$

近似计算与误差估计

• 用$\varphi_n(x)$近似$\varphi(x)$
• 误差： $$|\varphi_n(x)-\varphi(x)|\leq\frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}$$

解的延拓

• 前置定义：
  • 连通开区域：称开集$G$为连通开区域，若任意两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in G$，存在一条连续曲线$\gamma=\{\gamma(t);0\leq t\leq 1\}$，使$\gamma(0)=(x_1,y_1),\gamma(1)=(x_2,y_2)$，且$\gamma(t)\in G\,(0\leq t\leq 1)$。
  • 局部利普希茨条件（也称局部利普希茨连续）：对任意$(x_0,y_0)\in G$，存在闭矩形$R=R(x_0,y_0)$使$(x_0,y_0)\in R\subset G$，且$f$在$R$上关于$y$满足利普希茨条件。
• 定理：对于有界区域$G$，若$f(x,y)$在$G$上连续且关于$y$局部利普希茨连续，则方程$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$过$G$内任一点$(x_0,y_0)$的解$y=\varphi(x)$可延拓至任意接近区域$G$边界的点$(x,\varphi(x))$。
  • 推论：若$G$是无界区域，则解可向$x$增大方向延拓至以下两种情形之一：
    1. 延拓至$[x_0,+\infty)$；
    2. 延拓至$[x_0,d)$（$\displaystyle\lim_{x\to d}\varphi(x)=\pm\infty$或$(x,\varphi(x))$趋于$G$的边界）。

解对初值的连续性和可微性

在变动初值时，其对应的解也会变化。此时解可看作三元函数$y=\varphi(x,x_0,y_0)$（满足$y_0=\varphi(x,x_0,y_0)$），那么有（证明见书附录）：

• 解对初值的连续性定理：若函数$f(x,y)$在区域$G$内连续，且关于$y$满足局部利普希茨条件，则方程$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$的解$y = \varphi(x, x_0, y_0)$作为$x, x_0, y_0$的函数在它的存在范围内是连续的。
• 解对初值的可微性定理：若函数$f(x,y)$以及$\dfrac{\partial f}{\partial y}$都在区域$G$内连续，则方程$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$的解$y = \varphi(x, x_0, y_0)$作为$x, x_0, y_0$的函数在它的存在范围内是连续可微的。其解对$x,x_0, y_0$的微分公式为 $$\begin{aligned} \frac{\partial \varphi}{\partial x}&= f(x,\varphi(x,x_0,y_0)),\\ \frac{\partial \varphi}{\partial x_0} &= -f(x_0, y_0) \exp\left(\int_{x_0}^{x} \frac{\partial f(x, \varphi)}{\partial y} dx\right),\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y_0} &= \exp\left(\int_{x_0}^{x} \frac{\partial f(x, \varphi)}{\partial y} dx\right).\\ \end{aligned}$$

高阶微分方程

线性微分方程一般理论

• 对于$n$阶线性微分方程：$x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_n(t)x=f(t)$，有如下的存在唯一性定理（证明见后一章）：
  • 如果$a_i(t)(i=1,2,\cdots,n)$及$f(t)$都是$a \leq t \leq b$ 上的连续函数，则对于任一$t_0 \in [a,b]$及任意的$x_0,x_0^{(1)},\cdots,x_0^{(n-1)}$，方程存在唯一解$x = \varphi(t)$定义于$a \leq t \leq b$上，且满足初值条件 $$\varphi(t_0) = x_0, \quad \frac{\mathrm{d}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t} = x_0^{(1)}, \quad \cdots, \quad \frac{\mathrm{d}^{n-1}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^{n-1}} = x_0^{(n-1)}.$$ 其中$x_0,x_0^{(1)},\cdots,x_0^{(n-1)}$为常数。

齐次线性微分方程解的性质与结构

• 对于方程$\dfrac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+a_1(t)\dfrac{\mathrm{d}^{(n-1)}x}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=0$，有如下叠加原理：

  • 若$x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t)$为方程的$k$个解，则对任意$c_1,c_2,\cdots,c_k\in\R$，$\displaystyle\sum_{i=1}^kc_ix_i(t)$也是方程的解。

• 考虑定义在$a \leq t \leq b$上的函数$x_1(t), x_2(t), \cdots, x_k(t)$，如果存在不全为零的常数$c_1, c_2, \cdots, c_k$，使得恒等式

  $$c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + \cdots + c_k x_k(t) \equiv 0$$

  对于所有$t \in [a, b]$都成立，我们称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关。

• 朗斯基行列式：对于$[a,b]$上$k$个$k-1$次可微函数$x_1(t),\cdots,x_k(t)$，定义

  $$W[x_1,\cdots,x_k]=W(t)=\left|\begin{array}{cccc} x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_k(t)\\ x_1^{(1)}(t)&x_1^{(1)}(t)&\cdots&x_k^{(1)}(t)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ x_1^{(k-1)}(t)&x_1^{(k-1)}(t)&\cdots&x_k^{(k-1)}(t) \end{array}\right|$$
  • 若$x_1(t),\cdots,x_n(t)$在$[a,b]$上线性相关，则$W(t)\equiv 0,\forall t\in[a,b]$，反之一般不成立；
  • 若$x_1(t),\cdots,x_n(t)$在$[a,b]$上线性无关，则$W(t)\neq 0,\forall t\in[a,b]$。

  由此可知朗斯基行列式在$[a,b]$上要么恒等于$0$，要么处处不为$0$。

• 定理：$n$阶齐次线性微分方程一定存在$n$个线性无关的解。若记为$x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$，则通解的结构为

  $$x=c_1x_1(t)+\cdots+c_nx_n(t)$$

  其中$c_1,\cdots,c_n$为常数，且通解即为方程的所有解。

  • $(x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t))$称为方程的一个基本解组，当$W(t_0)=1$（$t_0$为初值）时也称为标准基本解组。
  • 推论：方程的所有解构成一个$n$维线性空间。

非齐次线性微分方程与常数变易法

• 对于方程$\dfrac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+a_1(t)\dfrac{\mathrm{d}^{(n-1)}x}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(t)\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=f(t)$，有如下定理：
  • 设$x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t)$为上述对应齐次线性微分方程的基本解组，而$\overline{x}(t)$是此方程的某一解，则此方程的通解可表示为 $$x = c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + \cdots + c_n x_n(t) + \overline{x}(t),$$ 其中$c_1, c_2, \cdots, c_n$为任意常数，而且这个通解包括了此方程的所有解。
• 常数变易法：
  • 设通解形式为$x(t)=c_1(t)x_1(t)+\cdots+c_n(t)x_n(t)$，则构造以下方程组： $$\begin{pmatrix} x_1&x_2&\cdots&x_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ x_1^{(n-2)}&x_2^{(n-2)}&\cdots&x_n^{(n-2)}\\ x_1^{(n-1)}&x_2^{(n-1)}&\cdots&x_n^{(n-1)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1'\\ \vdots\\ c_{n-1}'\\ c_n' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 0\\ f(t) \end{pmatrix}.$$
  • 因为$W(t)\neq 0$，故方程存在唯一解，设为$c'_i(t)=\varphi_i(t),i=1,2,\cdots,n$；对$t$积分得 $$c_i(t)=\int\varphi_i(t)\mathrm{d}t+\gamma_i,\quad i=1,2,\cdots,n$$ 其中$\gamma_i$为常数。故方程的通解为 $$x(t)=\sum_{i=1}^n x_i(t)\int\varphi_i(t)\mathrm{d}t+\sum_{i=1}^n\gamma_ix_i(t).$$

常系数齐次线性微分方程的解法

一些前置概念：

• 复值函数：$z(t)=\varphi(t)+i\psi(t)$
  • 性质： $$\begin{aligned} z'(t)&=\varphi'(t)+i\psi'(t)\\ e^{(\alpha+i\beta)t}&=e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e^{(\alpha+i\beta)t})&=(\alpha+i\beta)e^{(\alpha+i\beta)t} \end{aligned}$$
• 复值解：若定义于$a \leq t \leq b$上的实变量复值函数$x = z(t)$满足 $$\frac{\mathrm{d}^n z(t)}{\mathrm{d}t^n} + a_1(t) \frac{\mathrm{d}^{n-1} z(t)}{\mathrm{d}t^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(t) \frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t} + a_n(t) z(t) = f(t), \quad \forall a\leq t\leq b$$ 则称$z(t)$为方程的复值解。

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• 常系数齐次线性微分方程形式： $$L[x]\coloneqq\dfrac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+a_1\dfrac{\mathrm{d}^{(n-1)}x}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_nx=0$$ 其中$a_1,\cdots,a_n\in\R$。
• 解法（欧拉待定指数函数法，也称特征值法）：令$x(t)=e^{\lambda t}$（$\lambda$为实数或复数），则 $$\begin{aligned} L[x(t)]\coloneqq&\lambda^n e^{\lambda t}+a_1\lambda^{n-1}e^{\lambda t}+\cdots+a_ne^{\lambda t}=0\\ \Longleftrightarrow &\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n\coloneqq F(\lambda)=0 \end{aligned}$$ 故$x(t)$为方程$L[x]=f(t)$的解$\Longleftrightarrow\lambda$为$F(\lambda)=0$（也称为特征方程）的根（也称为特征值）。
  下面对特征根的情况分类讨论：
  1. 特征值无重根
     • 则方程存在$n$个解$e^{\lambda_1 t},e^{\lambda_2 t},\cdots,e^{\lambda_n t}$，且它们线性无关，故构成方程的基本解组。
     • 若$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$均为实数，则方程通解可表示为 $$x(t)=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t}+\cdots+c_ne^{\lambda_n t}$$ 其中$c_1,\cdots,c_n$为常数。
     • 若存在复数特征值，则其共轭也一定为特征值，设为$\lambda_i=\alpha+\beta i,\lambda_j=\alpha-\beta i$，那么 $$\begin{cases} e^{\lambda_i t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)\\ e^{\lambda_j t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t-i\sin\beta t) \end{cases}$$ 故$e^{\lambda_i t},e^{\lambda_j t}$可替换为实数$e^{\alpha t}\cos\beta t,e^{\alpha t}\sin\beta t$。
  2. 特征值有重根
     • 设$F(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^k(\lambda-\lambda_{k+1})\cdots(\lambda-\lambda_n)$，则$F(\lambda_1)=F'(\lambda_1)=\cdots=F^{(k)}(\lambda_1)=0$；
     • 若$\lambda_1=0$，则原方程变为$\dfrac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+a_1\dfrac{\mathrm{d}^{(n-1)}x}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+a_{n-k}\dfrac{\mathrm{d}^k x}{\mathrm{d}t^k}=0$，故存在$k$个线性无关的解$1,t,\cdots,t^{k-1}$；
     • 若$\lambda_1\neq 0$，则$e^{\lambda_1 t}$为一个解，由此得到一个解组$e^{\lambda_1 t},te^{\lambda_1 t},\cdots,t^{k-1}e^{\lambda_1 t}$。
  • 综上，若特征多项式$F(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\cdots(\lambda-\lambda_m)^{k_m}$（$k_1+\cdots+k_m=n$），则方程的一个基本解组为： $$\begin{cases} e^{\lambda_1 t},te^{\lambda_1 t},\cdots,t^{k_1-1}e^{\lambda_1 t}\\ e^{\lambda_2 t},te^{\lambda_2 t},\cdots,t^{k_2-1}e^{\lambda_2 t}\\ \vdots\\ e^{\lambda_m t},te^{\lambda_m t},\cdots,t^{k_m-1}e^{\lambda_m t} \end{cases}$$ 如果存在复特征值（$\lambda_j=\alpha\pm\beta i$），则将对应的$2k_j$个解换为 $$\begin{aligned} e^{\alpha t}\cos\beta t,te^{\alpha t}\cos\beta t,\cdots,t^{k_j-1}e^{\alpha t}\cos\beta t,\\ e^{\alpha t}\sin\beta t,te^{\alpha t}\sin\beta t,\cdots,t^{k_j-1}e^{\alpha t}\sin\beta t. \end{aligned}$$
• 应用（欧拉方程）：$x^n\dfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n}+a_1x^{n-1}\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_ny=0$
  • 求解：令$x=e^t$，则可将原方程转化为 $$\dfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}t^n}+b_1\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+b_{n-1}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+b_ny=0$$ 其对应特征方程为 $$\lambda(\lambda-1)\cdots(\lambda-n+1)+a_1\lambda(\lambda-1)\cdots(\lambda-n+2)+\cdots+a_n=0$$ 对应基本解组为 $$\begin{cases} x^{\lambda_1},(\ln|x|)x^{\lambda_1},\cdots,(\ln|x|)^{k_1-1}x^{\lambda_1}\\ x^{\lambda_2},(\ln|x|)x^{\lambda_2},\cdots,(\ln|x|)^{k_2-1}x^{\lambda_2}\\ \vdots\\ x^{\lambda_m},(\ln|x|)x^{\lambda_m},\cdots,(\ln|x|)^{k_m-1}x^{\lambda_m} \end{cases}$$

  实际上，在特殊情况下解决这个欧拉方程还有另一种更加便捷的换元方法：令$y=x^k$，那么就得到方程$k(k-1)\cdots(k-n+1)+a_1k(k-1)\cdots(k-n+2)+\cdots+a_n=0$（和上面的特征方程基本一样）。如果因式分解后没有重根，那么直接得到基本解组$x^{k_1},x^{k_2},\cdots,x^{k_m}$。【其实和上面的换元本质是一样的】

常系数非齐次线性微分方程的解法

• 形式：$L[x]=f(t)$（$L[x]$定义如上）

1. $f(t)=(b_0t^m+\cdots+b_m)e^{\lambda t}$（$\lambda$为对应齐次特征方程的特征根，$b_0\neq 0$）
   • 解法（比较系数法）：特解形式为 $$\tilde{x}=t^k(B_0t^m+\cdots+B_m)e^{\lambda t}$$ 其中$k$为特征值$\lambda$对应的次数，$B_0\cdots,B_m$通过将解代入原方程比较系数确定。

     当然$\lambda$也可以不是特征值，此时$k=0$。

2. 拉普拉斯变换法
   • 拉普拉斯变换：$\displaystyle F(s)=\int_{0}^\infty e^{-st}f(t)\mathrm{d}t\coloneqq\mathcal{L}[f(t)]$，其中$s$可为复数，$|f(t)|\leq Me^{\sigma t}$；
   • 则对于初值问题（如果非零点初值需换元） $$\begin{cases} x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\cdots+a_nx=f(t)\\ x(0)=x_0,x'(0)=x_0',\cdots,x^{(n-1)}(0)=x_0^{(n-1)} \end{cases}$$ 解法为：令$F(s)=\mathcal{L}[f(t)],x(s)=\mathcal{L}[x(t)]$，代入原方程得 $$\underbrace{(s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_n)}_{A(s)}x(s)=F(s)+\underbrace{(s^{n-1}+a_1s^{n-2}+\cdots+a_{n-1})x_0+(s^{n-2}+\cdots+a_{n-2})x_0'+\cdots+x_0^{(n-1)}}_{B(s)}$$ 解得$\displaystyle x(s)=\frac{F(s)+B(s)}{A(s)}$，通过逆变换得到$x(t)$。
   • 附：Laplace变换表

     原函数$f(t)$	像函数$F(s)$	$F(s)$的定义域
     $1$	$\dfrac{1}{s}$	$\operatorname{Re} s > 0$
     $t$	$\dfrac{1}{s^2}$	$\operatorname{Re} s > 0$
     $t^n$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$	$\operatorname{Re} s > 0$
     $e^{zt}$	$\dfrac{1}{s - z}$	$\operatorname{Re} s > \operatorname{Re} z$
     $t e^{zt}$	$\dfrac{1}{(s - z)^2}$	$\operatorname{Re} s > \operatorname{Re} z$
     $t^n e^{zt}$	$\dfrac{n!}{(s - z)^{n+1}}$	$\operatorname{Re} s > \operatorname{Re} z$
     $\sin \omega t$	$\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$	$\operatorname{Re} s > 0$
     $\cos \omega t$	$\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}$	$\operatorname{Re} s > 0$
     $\sinh \omega t$	$\dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2}$	$\operatorname{Re} s >\vert\omega\vert$
     $\cosh \omega t$	$\dfrac{s}{s^2 - \omega^2}$	$\operatorname{Re} s > \vert\omega\vert$
     $t \sin \omega t$	$\dfrac{2s\omega}{(s^2 + \omega^2)^2}$	$\operatorname{Re} s > 0$
     $t \cos \omega t$	$\dfrac{s^2 - \omega^2}{(s^2 + \omega^2)^2}$	$\operatorname{Re} s > 0$
     $e^{\lambda t} \sin \omega t$	$\dfrac{\omega}{(s - \lambda)^2 + \omega^2}$	$\operatorname{Re} s > \lambda$
     $e^{\lambda t} \cos \omega t$	$\dfrac{s - \lambda}{(s - \lambda)^2 + \omega^2}$	$\operatorname{Re} s > \lambda$
     $t e^{\lambda t} \sin \omega t$	$\dfrac{2\omega (s - \lambda)}{[(s - \lambda)^2 + \omega^2]^2}$	$\operatorname{Re} s > \lambda$
     $t e^{\lambda t} \cos \omega t$	$\dfrac{(s - \lambda)^2 - \omega^2}{[(s - \lambda)^2 + \omega^2]^2}$	$\operatorname{Re} s > \lambda$

高阶微分方程的降阶

• 对于一般的$n$阶微分方程$F(t,x,x',\cdots,x^{(n)})=0$，有三种特殊情形：

1. $F(t,x^{(k)},x^{(k+1)},\cdots,x^{(n)})=0$（$1\leq k\leq n$）【不显含$x,x',\cdots,x^{(k-1)}$】
   • 令$y=x^{(k)}$，则可降为$n-k$阶微分方程$F(t,y,y',\cdots,y^{(n-k)})=0$，解得 $$x^{(k)}=y=\varphi(t,c_1,\cdots,c_{n-k})$$ 两边经过$k$次积分得$x=\psi(t,c_1,\cdots,c_n)$。

     这里题目一般$k=n-1$，$n$则一般取$2$。（毕竟更高阶的微分方程也不会解hh

2. $F(x,x',\cdots,x^{(n)})=0$【不显含$t$】
   • 令$y=y(x)\coloneqq\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，则 $$\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=y,\\[10pt] \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}y\coloneqq G_2\left(y,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right),\\ \vdots\\ \dfrac{\mathrm{d}^{n}x}{\mathrm{d}t^{n}}=\dfrac{\mathrm{d}G_{n-1}}{\mathrm{d}x}y\coloneqq G_{n}\left(y,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\cdots,\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}\right). \end{cases}$$ 代回方程得到$G\left(x,y,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\cdots,\dfrac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}}\right)=0$【方程降一阶】，得到解$y=y(x)$，于是原方程解为 $$\int\frac{\mathrm{d}x}{y(x)}=t+c\quad \text{or}\quad y(x)\equiv 0$$
3. 齐次线性微分方程
   • 若已知方程的$k$个线性无关的解，则方程可将至$n-k$阶。
   • 例：二阶齐次线性微分方程$x''+p(t)x'+q(t)x=0$，设已知一个解$x(t)\neq 0$，则通解形式为 $$x(t)=c_1x_1(t)+c_2x_1(t)\int\frac{1}{x_1^2(t)}e^{-\int p(s)\mathrm{d}s}\mathrm{d}t.$$

二阶线性微分方程的幂级数解法

核心：泰勒展开

• 对于方程 $$\begin{cases} y''+p(x)y'+q(x)y=0\\ y(x_0)=a,y'(x_0)=b \end{cases}$$ 设$\displaystyle y=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n$，有 $$\begin{cases} \displaystyle y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - x_0)^n\\[10pt] \displaystyle y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x - x_0)^{n-1}\\[10pt] \displaystyle y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n (x - x_0)^{n-2}. \end{cases}$$ 且$c_0=a,c_1=b$。代回原方程得到$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty A_n(x-x_0)^n=0$，因而$A_n=0,\forall n\in\N$，由此解得所有系数$c_2,\cdots,c_n$【在某些情况下可以幂级数求和】

线性微分方程组

一般理论

• 线性微分方程组一般形式： $$\begin{cases} x_1'=a_{11}(t)x_1+a_{12}(t)x_2+\cdots+a_{1n}(t)x_n+f_1(t)\\ x_2'=a_{21}(t)x_1+a_{22}(t)x_2+\cdots+a_{2n}(t)x_n+f_2(t)\\ \cdots\\ x_n'=a_{n1}(t)x_1+a_{n2}(t)x_2+\cdots+a_{nn}(t)x_n+f_n(t) \end{cases}$$

其中$a_{ij}(t),f_i(t)\,(i,j=1,2,\cdots,n)$在$[a,b]$上连续。下面记

$$\begin{aligned} A(t)&=\begin{pmatrix} a_{11}(t)&a_{12}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\ a_{21}(t)&a_{22}(t)&\cdots&a_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}(t)&a_{n2}(t)&\cdots&a_{nn}(t) \end{pmatrix},\\ \vec{f}(t)&=\begin{pmatrix} f_1(t)\\ f_2(t)\\ \vdots\\ f_n(t) \end{pmatrix}, \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ \vdots\\ x_n(t) \end{pmatrix}, \vec{x}'=\begin{pmatrix} x'_1(t)\\ x'_2(t)\\ \vdots\\ x'_n(t) \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

那么方程也可写作$\vec{x}'=A(t)\vec{x}+\vec{f}(t)$。（矩阵、向量求导与积分略，都是各项求导或积分）

• 存在唯一性定理：若$A(t)$为$n\times n$矩阵，$f(t)$为$n$维列向量（均在$[a,b]$上连续），则对$[a,b]$上任意常数$t_0$和任意$n$维常数列向量$\vec{\eta}$，方程组存在唯一解$\varphi(t)$（定义于整个区间$[a,b]$），满足初值条件$\varphi(t_0)=\vec{\eta}$。
  • 推论：$n$阶线性微分方程（带初值）存在唯一解。（可由高阶微分方程转化为等价微分方程组得到）
• $\vec{f}(t)\neq 0$时，称为非齐次线性微分方程组；$\vec{f}(t)=0$时，称为齐次线性微分方程组。

齐次线性微分方程组

解的结构研究思路与高阶微分方程基本相同。

• 叠加原理，解的线性相关/无关性略
• 对于$n$个定义在$a\leq t\leq b$上的$n$维向量函数$\vec{x}_1(t),\cdots,\vec{x}_n(t)$，其朗斯基行列式为 $$W(t)=W[\vec{x}_1(t),\cdots,\vec{x}_n(t)]=\left|\begin{array}{cccc} x_{11}(t)&x_{12}(t)&\cdots&x_{1n}(t)\\ x_{21}(t)&x_{22}(t)&\cdots&x_{2n}(t)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ x_{n1}(t)&x_{n2}(t)&\cdots&x_{nn}(t) \end{array}\right|$$ 其性质用法与高阶微分方程基本相同，故作略。
• 方程组一定有$n$个线性无关的解，其通解为：$\vec{x}(t)=c_1\vec{x}_1(t)+\cdots+c_n\vec{x}_n(t)$
• 若方程组已知$k$个线性无关解，则可以降为$n-k$个未知数的线性微分方程组（$k=n-1$时可求通解）
• 基解矩阵：若一个$n\times n$矩阵的每一列均为方程组的解，则称其为解矩阵：
  • 若解矩阵的各列线性无关，则称为基解矩阵（记作$\Phi(t)$）；
  • 若存在$t_0\in[a,b]$满足$\Phi(t_0)=E$（可理解为默认初值），则称其为标准基解矩阵。
• 基解矩阵的性质：
  • 齐次线性微分方程组的基解矩阵一定存在，且如果$n$维列向量$\Psi(t)$是方程的任一解，则$\Psi(t)=\Phi(t)\vec{c}$，其中$\vec{c}$为$n$维常数列向量；
  • 解矩阵是基解矩阵的充要条件是$|\Phi(t)|\neq 0$（$a\leq t\leq b$），且这个条件和$\exists t_0\in[a,b],\,\text{s.t.}\,|\Phi(t_0)|\neq 0$等价。（此时$|\Phi(t)|$就是朗斯基行列式）
  • 若$\Phi(t)$是$a\leq t\leq b$上的基解矩阵，则对任意矩阵$\Psi(t)$，满足：
    • $\Psi(t)$为基解矩阵$\Longleftrightarrow$那么存在一个非奇异$n\times n$常数矩阵$C$使$\Psi(t)=\Phi(t)C,\, a\leq t\leq b$。

非齐次线性微分方程组

解的结构同样可参照高阶非齐次线性微分方程，同样使用常数变易法。

• 设$\vec{\varphi}(t)=\Phi(t)\cdot\vec{c}(t)$为非齐次方程组特解，则有 $$\begin{aligned} &\vec{c}(t)=\int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\vec{f}(s)\mathrm{d}s+\vec{c}\\ \Longrightarrow&\vec{\varphi}(t)=\Phi(t)\cdot\vec{c}+\Phi(t)\int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\vec{f}(s)\mathrm{d}s \end{aligned}$$ 如果考虑初值条件$\vec{\varphi}(t_0)=\vec{\eta}$，则$\displaystyle\vec{\varphi}(t)=\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)\vec{\eta}+\Phi(t)\int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\vec{f}(s)\mathrm{d}s$。
• 推论（$n$阶线性微分方程）：若$a_1(t), \dots, a_n(t), f(t)$为$[a, b]$上连续函数，$x_1, \dots, x_n$为$x^{(n)} + a_1(t)x^{(n-1)} + \dots + a_n(t)x = 0$的基本解组，则非齐次初值问题 $$\begin{cases} x^{(n)} + a_1(t)x^{(n-1)} + \dots + a_n(t)x = f(t) \\ x(t_0) = 0, x'(t_0) = 0, \dots, x^{(n-1)}(t_0) = 0 \end{cases}$$ 的（特）解由下式给出： $$\tilde{\varphi}(t) = \sum_{k=1}^n x_k(t) \cdot \int_{t_0}^t \frac{W_k(s)}{W(s)} \cdot f(s) \mathrm{d}s$$ 其中$W_k(s) := W_k[x_1(s), \dots, x_n(s)]$为$W$中第$k$列代以$(0, \cdots, 0, 1)^\top$后的行列式： $$W_k(s) = \begin{vmatrix} x_1(s) & \dots & 0 & \dots & x_n(s) \\ x_1'(s) & \dots & 0 & \dots & x_n'(s) \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ x_1^{(n-1)}(s) & \dots & 1 & \dots & x_n^{(n-1)}(s) \end{vmatrix}$$ 方程通解即为$\displaystyle\varphi(t)=\sum_{i=1}^nC_ix_i(t)+\tilde{\varphi}(t)$。
  • 特别地，当$n=2$时，线性微分方程$x'' + a_1(t)x' + a_2(t)x = 0$有基本解组$x_1, x_2$， $$W_1 = \begin{vmatrix} 0 & x_2 \\ 1 & x_2' \end{vmatrix} = -x_2, \quad W_2 = \begin{vmatrix} x_1 & 0 \\ x_1' & 1 \end{vmatrix} = x_1, \quad W = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ x_1' & x_2' \end{vmatrix} = x_1x_2' - x_1'x_2$$ 于是$x'' + a_1(t)x' + a_2(t)x = f(t)$有通解 $$\varphi(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + \int_{t_0}^t \frac{-x_1(t)x_2(s) + x_1(s)x_2(t)}{x_1(s)x_2'(s) - x_1'(s)x_2(s)} \cdot f(s) \mathrm{d}s.$$

常系数线性微分方程组

• 形式：$\vec{x}'=A\vec{x}$，其中$A$为常数矩阵。
• 前置定义：
  1. 矩阵的幂 $$e^A=\exp(A)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}A^k=E+A+\frac{1}{2!}A^2+\cdots+\frac{1}{n!}A^n+\cdots$$ 约定$e^\mathbf{0}=E$。
     • 矩阵幂的性质： $$\begin{aligned} &AB=BA\Longrightarrow e^{A+B}=e^A\cdot e^B=e^B\cdot e^A\\ &\forall A,(\exp A)^{-1}=\exp(-A)\\ &|T|\neq 0\Longrightarrow\exp(T^{-1}AT)=T^{-1}\exp(A)T \end{aligned}$$
  2. 矩阵的范数：$\|A\|=\sum_{i,j}|a_{ij}|$，由此可得$\displaystyle\|e^A\|\leq\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\|A\|^k\leq e^{\|A\|}$。
  3. 矩阵幂函数：$\displaystyle \exp(At)=e^{At}\coloneqq\sum_{k=0}^\infty\frac{(At)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^kt^k}{k!}$
• 方程组的标准基解矩阵$\Phi(t)=\exp(At)$（满足$\Phi(0)=E$）
  • 当考虑初值条件$\vec{\varphi}(t_0)=\vec{\eta}$时，基本解组$\vec{\varphi}(t)=\exp(A(t-t_0))\cdot\vec{\eta}$。

基解矩阵的计算

关键：利用特征值和特征向量

1. $A$有$n$个线性无关的特征向量
   设特征向量为$\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$，记$T=(\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n)$，则 $$e^{At}=T\begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t}&&\\ &\ddots&\\ &&e^{\lambda_nt} \end{pmatrix}T^{-1}$$ 于是基解矩阵可取$\Phi(t)=[e^{\lambda_1t}\vec{v}_1,\cdots,e^{\lambda_n t}\vec{v}_n]$。

   上述得到的$\Phi(t)$可能是复基解矩阵，想要实标准基解矩阵则可以用$\Phi(t)\Phi(0)^{-1}=\exp(At)$。

2. $A$没有$n$个线性无关的特征向量（几何重数小于代数重数）
   设$A$的特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_k$的重数分别为$n_1,\cdots,n_k$，则考虑空间的直和分解： $$\R^n=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$$ 其中$U_i=\{\vec{u}:(A-\lambda_i)^{n_i}\vec{u}=\vec{0}\}$。设方程组初值为$\vec{\varphi}(0)=\vec{\eta}$，则存在唯一分解$\vec{\eta}=\vec{v}_1+\cdots+\vec{v}_k$，其中$\vec{v}_i\in U_i$。于是 $$\begin{aligned} (\exp At) \vec{v}_j &= (\exp At) e^{\lambda_j t} [\exp(-\lambda_j E t)] \vec{v}_j = e^{\lambda_j t} [\exp(A - \lambda_j E) t] \vec{v}_j\\ &= e^{\lambda_j t} \left[ E + t(A - \lambda_j E) + \frac{t^2}{2!}(A - \lambda_j E)^2 + \cdots + \frac{t^{n_j - 1}}{(n_j - 1)!}(A - \lambda_j E)^{n_j - 1} \right]\vec{v_j}. \end{aligned}$$ 因此可得基解矩阵 $$\begin{aligned} \varphi(t) &= (\exp At) \eta = (\exp At) \sum_{j=1}^k \vec{v}_j = \sum_{j=1}^k (\exp At) \vec{v}_j\\ &= \sum_{j=1}^k e^{\lambda_j t} \left[ E + t(A - \lambda_j E) + \frac{t^2}{2!}(A - \lambda_j E)^2 + \cdots + \frac{t^{n_j - 1}}{(n_j - 1)!}(A - \lambda_j E)^{n_j - 1} \right] \vec{v}_j\\ &=\sum_{j=1}^k e^{\lambda_j t} \left[ \sum_{i=0}^{n_j-1} \frac{t^i}{i!} (A - \lambda_j E)^i \right]\vec{v_j}. \end{aligned}$$ 如果初值为$\vec{\varphi}(t_0)=\vec{\eta}$，则将结果中$t$换为$t-t_0$即可。

   关于向量$\vec{v_j}$的求解：通过方程$(A-\lambda_j)^{n_j}\vec{u}=\vec{0}$得到基础解系，然后用一个向量表示（可用多个参数）。

Laplace变换

主要概念前文已叙述，这里只补充解线性微分方程组会用到的变换：

• 已知初值 $$\vec{\varphi}(0)=\vec{\eta}=\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix},\vec{\varphi}(0)'=\vec{\eta}'=\begin{pmatrix}\eta_1'\\\eta_2'\\\vdots\\\eta_n'\end{pmatrix}$$ 则 $$\begin{aligned} \mathcal{L}[\vec{f}(t)]&=\int_0^\infty e^{-st}\vec{f}(t)\mathrm{d}t,\\ \mathcal{L}[x'_k(t)]&=s\cdot\mathcal{L}[x_k(t)]-\eta_k,\\ \mathcal{L}[x''_k(t)]&=s^2\cdot\mathcal{L}[x_k(t)]-s\eta_k-\eta_k'. \end{aligned}$$