基于许忠好《实变函数概要》编写。

集合论

集合及其运算

  • 基本概念（略，只列举一些新的符号定义）

    • 余集：设Ω\Omega为全集，则AA的余集定义为Ω∖A\Omega\setminus A，记为AcA^c；
    • 对称差：称集合A△B=(A∖B)∪(B∖A)A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)为集合AA与BB的对称差；
    • 直积：A×B={(a,b):a∈A,b∈B}A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}（也称笛卡尔乘积，注意顺序）

    相关性质：A∖B=A∩BcA\setminus B=A\cap B^c；A△B=(A∪B)∖(A∩B)A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)。

  • De Morgan公式：设Γ\Gamma为一指标集，{At,t∈Γ}\{A_t,t\in\Gamma\}为任一集簇，则

    (⋃t∈ΓAt)c=⋂t∈ΓAtc,(⋂t∈ΓAt)c=⋃t∈ΓAtc\left(\bigcup_{t\in\Gamma}A_t\right)^c=\bigcap_{t\in\Gamma}A_t^c,\quad\left(\bigcap_{t\in\Gamma}A_t\right)^c=\bigcup_{t\in\Gamma}A_t^c

集合的上、下极限集

  • 定义：设{An,n≥1}\{A_n,n\geq 1\}为任一集列，称集合{x:x\{x:x属于无穷多个An}A_n\}为集列{An,n≥1}\{A_n,n\geq 1\}的上极限集，记为lim‾⁡n→∞An\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}A_n；称集合{x:x\{x:x至多不属于有限个An}A_n\}为集列{An,n≥1}\{A_n,n\geq 1\}的下极限集，记为lim‾⁡n→∞An\displaystyle\varliminf_{n\to\infty}A_n.
  • 若lim‾⁡n→∞An=lim‾⁡n→∞An≜A\displaystyle\varliminf_{n\to\infty}A_n=\varlimsup_{n\to\infty}A_n\triangleq A，则称集列{An,n≥1}\{A_n,n\geq 1\}收敛，称AA为其极限集，记为lim⁡n→∞An\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n.
  • 性质：
    • ⋂n=1∞An⊂lim‾⁡n→∞An⊂lim‾⁡n→∞An⊂⋃n=1∞An\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}\subset\varliminf_{n\to\infty}A_{n}\subset\varlimsup_{n\to\infty}A_{n}\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}；
    • lim‾⁡n→∞An=⋂n=1∞⋃k=n∞Ak,lim‾⁡n→∞An=⋃n=1∞⋂k=n∞Ak.\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k},\quad \varliminf_{n\to\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}.

    第二条可以理解为“上极限集：对任意n≥1n\geq 1，存在k≥nk\geq n使其属于AkA_k”，“下极限集：存在n≥1n\geq 1，使得对任意k≥nk\geq n，其属于AkA_k”

  • 单调集列：
    • 单调不降：集列{An,n≥1}\{A_n,n\geq 1\}满足A1⊂A2⊂⋯⊂An⊂⋯A_1\subset A_2\subset\cdots\subset A_n\subset\cdots；
    • 单调不增：集列{An,n≥1}\{A_n,n\geq 1\}满足A1⊃A2⊃⋯⊃An⊃⋯A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_n\supset\cdots；
    • 二者合称单调集列。
    • 性质：单调集列必有极限集，且若集列单调不降，则lim⁡n→∞An=⋃n=1∞An\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n；若集列单调不增，则lim⁡n→∞An=⋂n=1∞An\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n.

示性函数

  • 定义：设集合A⊂XA\subset X，称定义在XX上的函数 χA(x)={1,x∈A0,x∈X∖A\chi_A(x)=\begin{cases} 1,x\in A\\ 0,x\in X\setminus A \end{cases} 为集合AA的示性函数，也记为IA(x)I_A(x)或1A(x)\mathbf{1}_A(x).
  • 性质（略，自行列举）

映射与基数

映射

  • 定义：设XX与YY是两个非空集合，若存在一个法则ff，使得对于XX中的任一元素xx，都有YY中的唯一确定的元素yy与其对应，则称ff是XX到YY的映射，记为f:X→Yf:X\to Y.
    • 当映射ff使得yy与xx对应时，称yy为xx在映射ff下的像，记为y=f(x)y=f(x)；对于y∈Yy\in Y，称满足y=f(x)y=f(x)的所有x∈Xx\in X组成的集合为yy在映射ff下的原像，记为f−1(y)f^{-1}(y).
      f−1(y)f^{-1}(y)一般不是单元素集，且可能是空集；
  • 像集：对任意的A⊂XA\subset X，记f(A)={y∈Y:f(A)=\{y\in Y:存在x∈Ax\in A使得y=f(x)}y= f(x)\}为集合AA在映射ff下的像集；
    • 原像集：对于任意的B⊂YB\subset Y，记f−1(B)=⋃y∈Bf−1(y)\displaystyle f^{-1}(B) = \bigcup_{y\in B}f^{-1}(y)为集合BB在映射ff下的原像集;
  • 满射：若f(X)=Yf(X)=Y，称ff为XX到YY的满射；
    • 单射：若对任意的y∈Yy\in Y，除了f−1(y)=∅f^{-1}(y)=\varnothing外，f−1(y)f^{-1}(y)皆为单元素集，称ff为XX到YY的单射；
    • 若ff既是单射又是满射，称ff为XX到YY的双射或一一映射；
    • 逆映射：若ff为XX到YY的单射，则存在f(X)f(X)到XX的映射使得对任一y∈f(X)y\in f(X)，都有唯一的x∈Xx\in X（即满足f(x)=yf(x)=y的xx）与之对应，称这一f(X)f(X)到XX的映射为ff的逆映射，记为f−1:f(X)→Xf^{-1}:f(X)\to X

      注意f−1f^{-1}必为f(X)f(X)到XX的双射.

    • 复合映射：设ff为XX到YY的映射，gg为f(X)f(X)到ZZ的映射，则存在XX到ZZ映射，使得对任一x∈Xx\in X，都有唯一的z=g(f(x))z=g(f(x))与之对应。记这个映射为g∘f:X→Zg\circ f:X\to Z，称其为映射ff与gg的复合映射。

对等与基数

  • 对等定义：若存在一个从集合AA到集合BB的一一映射，则称AA与BB对等，记为A∼BA\sim B.
    • 对等关系属于等价关系，具有自反性、对称性与传递性。
  • Bernstein定理：若集合AA与BB的某一子集对等，BB与AA的某一子集对等，则A∼BA\sim B.
    • 特例：若集合A∼CA\sim C，且C⊂B⊂AC\subset B\subset A，则A∼BA\sim B。

    设−∞≤a<b≤∞-\infty\leq a< b\leq\infty，则(a,b)∼(−∞,∞)(a,b)\sim(-\infty,\infty).

  • 基数定义：基数用于刻画相互对等的集合的某种共同属性，用A‾‾\overline{\overline{A}}表示。其满足以下性质：
    • 若A∼BA\sim B，则A‾‾=B‾‾\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}；
    • 若存在C⊂BC\subset B使得A∼CA\sim C（或存在AA到BB的一个单射），称AA的基数不超过BB的基数，记为A‾‾≤B‾‾\overline{\overline{A}}\leq\overline{\overline{B}}或B‾‾≥A‾‾\overline{\overline{B}}\geq\overline{\overline{A}}。
      • 若A‾‾≤B‾‾\overline{\overline{A}}\leq\overline{\overline{B}}且A‾‾≠B‾‾\overline{\overline{A}}\neq\overline{\overline{B}}，则称AA的基数小于BB的基数，记为A‾‾<B‾‾\overline{\overline{A}}< \overline{\overline{B}}.
      • 这样Bernstein定理也可表述为：若A‾‾≤B‾‾,B‾‾≤A‾‾\overline{\overline{A}}\leq\overline{\overline{B}},\overline{\overline{B}}\leq\overline{\overline{A}}则A‾‾=B‾‾\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}.

可数集

  • 有限集与无限集：若存在正整数nn,使得集合AA与集合{1,2,⋯ ,n}\{1,2,\cdots,n\}对等，称AA为有限集，且A‾‾=n\overline{\overline{A}}=n；称不是有限集的集合为无限集。
    • 约定∅\varnothing为有限集，且∅‾‾=0\overline{\overline{\varnothing}}=0.
  • 可列集：若集合AA与正整数集{1,2,⋯ }\{1,2,\cdots\}对等，称AA为可列集，其基数记为ℵ0\aleph_0（读作“阿列夫零”）.
  • 有限集与可列集统称为可数集。
  • 性质：
    • 任何无限集都包含一个可列子集；（可列集是基数最小的无限集）
    • 可列集的任何无限子集必为可列集；
    • 可数个可数集的交、并、差等运算后的结果仍为可数集；特别地，可数个可列集的并必为可列集。
    • 有理数集Q\mathbb{Q}是可列集；
    • 设集合AA是可数集，BB是无限集，则A∪B‾‾=B‾‾\overline{\overline{A\cup B }}=\overline{\overline{B}}，即无限集并上一个可数集后基数不发生改变；
    • 集合AA为无限集的充分必要条件为AA与其某个真子集对等.

不可数集

  • (0,1)={x:0<x<1}(0,1)=\{x:0< x< 1\}不是可数集。称[0,1][0,1]的基数为连续基数，记为cc或ℵ\aleph；
    • (a,b),[a,b),(−∞,∞)(a,b),[a,b),(-\infty,\infty)均具有连续基数。
  • 无最大基数定理：设A≠∅A\neq\varnothing，P(A)\mathcal{P}(A)表示AA的幂集，则AA与P(A)\mathcal{P}(A)不对等，且A‾‾<P(A)‾‾\overline{\overline{A}}< \overline{\overline{\mathcal{P}(A)}}
  • 连续统假设：不存在集合AA，使ℵ0<A‾‾<c\aleph_0< \overline{\overline{A}}< c.

开集

欧氏空间

  • 设XX是一个集合，任意x,y∈Xx,y\in X,有实数d(x,y)d(x,y)与之对应，具有性质：

    • d(x,y)≥0d(x,y)\geq 0，取等号当且仅当x=yx=y；
    • d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)；
    • 对任意z∈Xz\in X，d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).

    则称d(⋅,⋅)d(\cdot,\cdot)为定义在XX上的距离，称序对(X,d)(X,d)为距离空间。

  • 设x=(x1,⋯ ,xn)∈Rnx=(x_1,\cdots,x_n)\in\R^n，称∣x∣=∑k=1nxk2\displaystyle |x|=\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}为xx的范数或长度。

    • 称距离空间(Rn,d)(\R^n,d)为nn维欧氏空间，其中d(x,y)=∣x−y∣d(x,y) =|x - y|.（也可直接用Rn\R^n表示欧氏空间）

  • 有界集与无界集：设E⊂RnE\subset\R^n，称

    diamE=sup⁡{∣x−y∣:x,y∈E}\mathrm{diam}E=\sup\{|x-y|:x,y\in E\}

    为点集EE的直径。若diamE<∞\mathrm{diam}E< \infty，称EE为有界集，否则称EE为无界集。

    • 非空集合E⊂RnE\subset\R^n有界当且仅当存在M>0M>0，使得对任意的x∈Ex\in E，都有∣x∣≤M|x|\leq M.

  • 对于Rn\mathbb{R}^n的点列{xn,n≥1}\{x_n, n \geq 1\}，若存在x∈Rnx \in \mathbb{R}^n，使得lim⁡n→∞∣xn−x∣=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} |x_n - x| = 0，则称xx为点列{xn,n≥1}\{x_n, n \geq 1\}的极限，记为lim⁡n→∞xn=x\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x,
    并称{xn,n≥1}\{x_n, n \geq 1\}为收敛点列。

开集与闭集

  • 开集定义：设x∈Rn,A⊂Rnx\in\R^n,A\subset\R^n，
    • 对任意ϵ>0\epsilon>0，称集合{U(x,ϵ)}={y∈Rn:d(x,y)<ϵ}\{U(x,\epsilon)\}=\{y\in\R^n:d(x,y)< \epsilon\}为点xx的ϵ\epsilon-邻域；
    • 若存在邻域U(x,ϵ)⊂AU(x,\epsilon)\subset A，则称xx为AA的一个内点；集合AA的所有内点构成的集合称为AA的内部，记为A∘A^\circ；
    • 若集合AA满足A⊂A∘A\subset A^\circ，称AA为Rn\R^n中的开集。规定∅\varnothing为开集。
  • 开集性质：
    • ∅,Rn\varnothing,\R^n都是开集；任意多个开集的并还是开集；有限多个开集的交是开集。
  • 闭集定义：设x∈Rn,A⊂Rnx \in \mathbb{R}^n, A \subset \mathbb{R}^n，
    • 任意的ε>0\varepsilon > 0，邻域U(x,ε)U(x, \varepsilon)包含AA的无限多个点，则称xx为AA的一个聚点或极限点。集合AA的所有聚点构成的集合称为AA的导集，记为A′A'。

    有限集的导集为空集；集合AA的聚点未必属于AA

    • 若集合AA满足A′⊂AA'\subset A，则称AA为Rn\mathbb{R}^n中的闭集。称A‾=A∪A′\overline{A} = A \cup A'为集合AA的闭包。
  • 导集与闭包的性质：
    • 设A⊂RnA \subset \mathbb{R}^n，则
      • x∈A′⟺x \in A'\Longleftrightarrow存在点列{xn,n≥1}⊂A∖{x}\{x_n, n \geq 1\} \subset A \setminus \{x\}，使得当n→∞n \to \infty时，xn→xx_n \to x；
      • x∈A‾⟺x \in \overline{A}\Longleftrightarrow存在AA中的点列{xn,n≥1}⊂A\{x_n, n \geq 1\} \subset A，使得当n→∞n \to \infty时，xn→xx_n \to x.
    • 若A,B⊂RnA, B \subset \mathbb{R}^n，则(A∪B)′=A′∪B′(A \cup B)' = A' \cup B'；
    • 设A⊂RnA \subset \mathbb{R}^n，则A′,A‾A', \overline{A}皆为闭集；
    • 若{An,n≥1}⊂Rn\{A_n, n \geq 1\} \subset \mathbb{R}^n，则(⋃n=1∞An)′⊂⋃n=1∞An′\displaystyle\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)' \subset \bigcup_{n=1}^\infty A'_n未必成立。（反例：{An}\{A_n\}为所有有理数集合）
  • 闭集性质：
    • ∅\varnothing和Rn\R^n都是闭集；任意多个闭集的交还是闭集；有限多个闭集的并是闭集。
    Rn\R^n中既是开集又是闭集的集合只有∅\varnothing和Rn\R^n。
    • 若A⊂RnA\subset\R^n为非空集合，x∈Rnx\in\R^n，定义d(x,A)=inf⁡{d(x,y):y∈A}d(x,A)= \inf\{d(x,y):y\in A\}。则AA为闭集⟺\Longleftrightarrow对任意x∈Rnx\in\R^n，存在y∈Ay\in A，使得d(x,y)=d(x,A)d(x,y)=d(x,A).
    • 设A⊂RnA\subset\R^n，则AA是闭集⟺\LongleftrightarrowA中的任意收敛点列的极限属于AA.
  • 闭集与开集的关系：设A⊂RnA\subset\R^n，则AA为闭集⟺Ac\Longleftrightarrow A^c为开集。
  • 稠密性：设AA和BB都是Rn\R^n的子集，若A‾⊃B\overline{A}\supset B，则称AA在BB中稠密；
    • 特别地，若还有A⊂BA\subset B，则称AA是BB的稠密子集；若(A‾)∘=∅(\overline{A})^\circ=\varnothing，则称AA为疏朗集或无处稠密集。

      有理数集Q\mathbb{Q}是R1\R^1的稠密子集；有理数集Q\mathbb{Q}在无理数集R1∖Q\R^1\setminus Q中稠密；整数集Z\Z是疏朗集。

开集的构造与Borel集

将集合AA的所有开子集组成的集类记为O(A)\mathcal{O}(A).

  • 构成区间：设集合G∈O(R1),α,β∉GG \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^1), \alpha, \beta \not\in G，但(α,β)⊂G(\alpha, \beta) \subset G，称这样的区间(α,β)(\alpha, \beta)为开集GG的构成区间。
  • 定理：R1\mathbb{R}^1中的非空开集必是可数个互不相交的开区间的并；R1\mathbb{R}^1中的闭集必是从R1\mathbb{R}^1中挖去可数个互不相交的非空开区间所得的集合。
  • σ\sigma-代数：定义略（见概率论）。
  • Borel σ\sigma-代数：称σ(O(Rn))\sigma(\mathcal{O}(\R^n))为Borel σ\sigma-代数，记为B(Rn)\mathcal{B}(\R^n)或B\mathcal{B}。B\mathcal{B}中的元素称为Borel集。
  • 若E⊂RnE\subset\R^n是可列个开集的交集，则称EE为GδG_\delta型集；若EE是可列个闭集的并集，则称EE是FσF_\sigma型集。

连续函数

  • 定义：设E⊂RnE \subset \mathbb{R}^n， ff是定义在EE上的实值函数。x0∈Ex_0 \in E，若对任意的ε>0\varepsilon > 0，存在δ>0\delta > 0，使得f(U(x0,δ)∩E)⊂U(f(x0),ε)f(U(x_0, \delta) \cap E) \subset U(f(x_0), \varepsilon)，则称ff在x0x_0处连续。
    • 若ff在EE中的每一点处都连续，则称ff为EE上的连续函数。EE上的连续函数全体记为C(E)\mathcal{C}(E)。
  • 连续函数的延拓：若F⊂RnF \subset \mathbb{R}^n为闭集，f∈C(F)f \in\mathcal{C}(F)，且存在M>0M > 0，使得对任意的x∈Fx \in F，都有∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M成立，则存在函数g∈C(Rn)g \in\mathcal{C}(\mathbb{R}^n)，使得对任意的x∈Rnx \in \mathbb{R}^n，都有∣g(x)∣≤M|g(x)| \leq M成立。
    • 特别地，当x∈Fx \in F时，g(x)=f(x)g(x) = f(x)。

Cantor集

  • Cantor集的构造：将[0,1]⊂R1[0,1]\subset\R^1三等分，去掉中间开区间(13,23)\displaystyle\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)，记剩下部分为F1=[0,13]∪[23,1]=F1,1∪F1,2\displaystyle F_1=\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},1\right]=F_{1,1}\cup F_{1,2}；再对F1,1,F1,2F_{1,1},F_{1,2}三等分，取左右两部分，记为F2=F2,1∪F2,2∪F2,3∪F2,4F_2=F_{2,1}\cup F_{2,2}\cup F_{2,3} \cup F_{2,4}；以此类推，得到集列{Fn,n≥1}\{F_n,n\geq 1\}，其中 Fn=⋃i=12nFn,i,n=1,2,⋯F_n=\bigcup_{i=1}^{2^n}F_{n,i},\quad n=1,2,\cdots 称集合C=⋂n=1∞Fn\displaystyle C=\bigcap_{n=1}^\infty F_n为Cantor（三分）集。
  • 性质：
    • CC为非空有界闭集；
    • C=C′C=C'，即CC为完全集（没有孤立点）；
    • CC没有内点；
    • CC是疏朗集；
    • CC具有连续基数cc，即C‾‾=c\overline{\overline{C}}=c；
    • 被挖去的小区间长度和为11.

测度论

  • 定义广义实数集R‾1=R1∪{−∞,∞}\overline{\R}^1=\R^1\cup\{-\infty,\infty\}，规定以下计算规则（设a∈R1a\in\R^1）：
    • a±∞=±∞,+∞+(+∞)=+∞,−∞−(+∞)=−∞a\pm\infty=\pm\infty,+\infty+(+\infty)=+\infty,-\infty-(+\infty)=-\infty；
    • (±∞)⋅(±∞)=+∞,(+∞)⋅(−∞)=−∞,a±∞=0(\pm\infty)\cdot(\pm\infty)=+\infty,(+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty,\dfrac{a}{\pm\infty}=0；
    • a⋅(±∞)={±∞,a>00,a=0∓∞,a<0a\cdot(\pm\infty)=\begin{cases} \pm\infty,&a>0\\ 0,&a=0\\ \mp\infty,&a<0 \end{cases}

    特别声明+∞−(+∞)+\infty-(+\infty)没有意义.

外测度

  • 开矩体：称集合I={(x1,x2,⋯ ,xn)∈Rn:ak<xk<bk,ak,bk∈R,ak<bk,k=1,2,⋯ ,n}I =\{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in\R^n: a_k< x_k< b_k, a_k,b_k\in\R,a_k< b_k,k=1,2,\cdots,n\}为Rn\R^n中的一个开矩体。规定II的长度为 ∣I∣=∏k=1n(bk−ak)|I|=\prod_{k=1}^n(b_k-a_k)

    类似可以定义Rn\R^n中的闭矩体、半开闭矩体等，其长度均定义为边长乘积。

  • L-覆盖：设集合E⊂RnE\subset\R^n，若可数个开矩体I1,I2,⋯I_1,I_2,\cdots，使得⋃k=1∞Ik⊃E\displaystyle\bigcup_{k=1}^\infty I_k\supset E，则称{I1,I2,⋯ }\{I_1,I_2,\cdots\}为EE的一个L-覆盖。
    • 性质：
    1. 若E⊂FE\subset F,则FF的L-覆盖必是EE的L-覆盖；
    2. 记Ik=(−k,k),Jk=(−2k,2k),k=1,2,⋯I_k=(-k,k),J_k=(-2k,2k),k=1,2,\cdots,则{Ik,k≥1}\{I_k,k\geq 1\}和{Jk,k≥1}\{J_k,k\geq 1\}都是R\R的L-覆盖；
    3. 任何集合E⊂RnE\subset\R^n都存在一个L-覆盖，且不唯一.
  • （Lebesgue）外测度定义：设集合E⊂RnE\subset\R^n，称 m∗(E)=inf⁡{∑k=1∞∣Ik∣:{Ik,k≥1}为E的一个L-覆盖}m^*(E)=\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty|I_k|:\{I_k,k\geq 1\}\text{为}E\text{的一个L-覆盖}\right\} 为EE的Lebesgue外测度。
    • 任何集合E⊂RnE\subset\R^n的外测度m∗(E)m^*(E)均存在；
    • 单点集的外测度为00。
  • 称外测度为00的集合为零测集。
    • Cantor集，可数集均为零测集。
  • 设II为开矩体，则m∗(I)=∣I∣m^*(I)=|I|.
  • 性质：
    1. 非负性：任意E⊂RnE \subset \mathbb{R}^n，都有m∗(E)≥0m^*(E) \geq 0；
    2. 单调性：若E1⊂E2E_1 \subset E_2，则m∗(E1)≤m∗(E2)m^*(E_1) \leq m^*(E_2)；
    3. 次可加性：m∗(⋃k=1∞Ek)≤∑k=1∞m∗(Ek)\displaystyle m^* \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} m^*(E_k).
  • 外测度不具有可加性，需要限制条件：
    • 若A,B⊂Rn,d(A,B)=inf⁡{d(x,y):x∈A,y∈B}>0A, B \subset \mathbb{R}^n,d(A, B) = \inf\{d(x, y) : x \in A, y \in B\} > 0，则有 m∗(A∪B)=m∗(A)+m∗(B).m^*(A \cup B) = m^*(A) + m^*(B).

测度

测度的引入目的是为了解决外测度的不可加性问题

  • 定义（Carathéodory条件，简称卡氏条件）：设E⊂RnE\subset\R^n，若对任意的T⊂RnT\subset\R^n（也称为试验集），都有 m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c) 成立，则称EE为Lebesgue可测集，简称EE为可测集或EE可测，记为E∈ME\in\mathcal{M}（M\mathcal{M}表示所有可测集组成的全体）；m∗(E)m^*(E)称为EE的测度，记为m(E)m(E).
    • 零测集必可测，且测度为00；
    • 由外测度的次可加性，卡氏条件可化为m∗(T)≥m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec)m^*(T)\geq m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)
  • 等价条件：E∈M⟺E\in\mathcal{M}\Longleftrightarrow任意A⊂E,B⊂EcA\subset E,B\subset E^c，有m∗(A∪B)=m∗(A)+m∗(B)m^*(A\cup B)=m^*(A)+m^*(B)
    • 推论：若E1,E2∈ME_1,E_2\in\mathcal{M}，且E1∩E2=∅E_1\cap E_2=\varnothing，则对任意的T⊂RnT\subset\R^n，都有 m∗(T∩(E1∪E2))=m∗(T∩E1)+m∗(T∩E2)m^*(T\cap(E_1\cup E_2))=m^*(T\cap E_1)+m^*(T\cap E_2) 特别地，令T=RnT=\R^n，则 m∗(E1+E2)=m∗(E1)+m∗(E2)m^*(E_1+E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2) （即推出测度的有限可加性）

      在上面的推论中，可以不要求E2E_2可测（因为(T∩E2)⊂E2⊂E1c(T\cap E_2)\subset E_2\subset E_1^c）

  • 卡氏条件简化版本：E∈M⟺E\in\mathcal{M}\Longleftrightarrow对任意的开矩体II，有 ∣I∣≥m∗(I∩E)+m∗(I∩Ec).|I|\geq m^*(I\cap E)+m^*(I\cap E^c).

可测集的性质

  1. E∈M⟺Ec∈ME \in \mathcal{M}\Longleftrightarrow E^c \in \mathcal{M};
  2. 若E1,E2∈ME_1, E_2 \in \mathcal{M}，则E1∪E2,E1∩E2E_1 \cup E_2, E_1 \cap E_2和E1∖E2E_1 \setminus E_2都在M\mathcal{M}中;
  3. 若E1,E2,⋯∈ME_1, E_2, \dots \in \mathcal{M}，且当i≠ji \neq j时，还有Ei∩Ej=∅E_i \cap E_j = \varnothing，则∑k=1∞Ek∈M\displaystyle\sum_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{M}，且 m(∑k=1∞Ek)=∑k=1∞m(Ek)m\left(\sum_{k=1}^\infty E_k\right) = \sum_{k=1}^\infty m(E_k) （测度可列可加性）
  4. 若E1,E2,⋯∈ME_1, E_2, \dots \in \mathcal{M}，则⋃k=1∞Ek∈M\bigcup_{k=1}^\infty E_k \in \mathcal{M}.

测度的性质

  1. m(∅)=0m(\varnothing) = 0;
  2. m(∑k=1∞Ak)=∑k=1∞m(Ak)\displaystyle m\left(\sum_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} m(A_k)；
  3. m(A+B)=m(A)+m(B)m(A + B) = m(A) + m(B)；
  4. 若 A⊂BA \subset B，则 m(A)≤m(B)m(A) \leq m(B)；
  5. 若 A⊂BA \subset B, m(A)<∞m(A) < \infty，则 m(B∖A)=m(B)−m(A)m(B \setminus A) = m(B) - m(A)；
  6. 若 m(AB)<∞m(AB) < \infty，则 m(B∖A)=m(B)−m(AB)m(B \setminus A) = m(B) - m(AB)；
  7. m(⋃k=1∞Ek)≤∑k=1∞m(Ek)\displaystyle m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} m(E_k)
  • 测度的上、下连续性：设{En,n≥1}∈M\{E_n,n\geq 1\}\in\mathcal{M}，
    • 测度的下连续性：若E1⊂E2⊂⋯E_1 \subset E_2 \subset \cdots，则lim⁡k→∞m(Ek)=m(lim⁡k→∞Ek)\displaystyle\lim_{k \to \infty} m(E_k) = m(\lim_{k \to \infty} E_k)；
    • 测度的上连续性：若m(E1)<∞, E1⊃E2⊃⋯m(E_1) < \infty, \, E_1 \supset E_2 \supset \cdots，则lim⁡k→∞m(Ek)=m(lim⁡k→∞Ek)\displaystyle\lim_{k \to \infty} m(E_k) = m(\lim_{k \to \infty} E_k)。

可测集与开集

  • Rn\R^n中的任意开矩体都是可测集⟹Rn\Longrightarrow\R^n中的任意开集都是可测集
    • 闭集为可测集；GδG_\delta型集和FσF_\sigma型集都是可测集；Borel集是可测集。
  • 可测集的特征：
    • 对任意的ϵ>0\epsilon>0，存在开集GG和闭集FF，使得F⊂E⊂GF\subset E\subset G，且 m(G∖E)<ϵ,m(E∖F)<ϵm(G\setminus E)< \epsilon,\quad m(E\setminus F)< \epsilon
    • 存在GδG_\delta型集G∗G^*和FσF_\sigma型集F∗F^*。使得G∗⊃E⊃F∗G^*\supset E\supset F^*且 m(G∗∖E)=m(E∖F∗)=0m(G^*\setminus E) = m(E\setminus F^*)=0

    由此可见，可测集“差不多”就是开（闭）集。

不可测集

  • 平移：设集合A⊂R1A\subset\R^1，称集合a+A={a+x:x∈A}a+A=\{a+x:x\in A\}为AA的一个平移。
  • 定理：设a∈R1a \in \mathbb{R}^1。
    1. 对任意的A⊂R1A \subset \mathbb{R}^1，有A=a+((−a)+A)A = a + ((-a) + A)。
    2. 设II是开区间，则a+Ia + I也是开区间，且∣a+I∣=∣I∣|a + I| = |I|；
    3. 设A⊂R1A \subset \mathbb{R}^1，则m∗(a+A)=m∗(A)m^*(a + A) = m^*(A)；
    4. 若A∈MA \in \mathcal{M}，则a+A∈Ma + A \in \mathcal{M}，且m(a+A)=m(A)m(a + A) = m(A)。
  • 在[0,1][0,1]中定义等价关系∼\sim，即若x,y∈[0,1]x,y\in[0,1]且x−y∈Qx-y\in\mathbb{Q}，则x∼yx\sim y。
    • 由此，[0,1][0,1]被分为一些等价类集合，由选择公理，我们可以在每个等价类中选择且仅选择一个元素，这样构成的集合记为EE。则E⊂[0,1]E\subset [0,1]且EE是Lebesgue不可测集。
    • 推论：存在两个不相交的实数集AA和BB，使得 m∗(A∪B)<m∗(A)+m∗(B).m^*(A\cup B) < m^*(A) + m^*(B).

可测函数

  • 定义：设f:E⊂Rn→R‾1f:E\subset\R^n\rightarrow\overline{R}^1为定义在可测集EE上的广义实值函数。若任意t∈R1t\in\R^1， E[f>t]≜{x∈E:f(x)>t}∈ME[f>t]\triangleq\{x\in E:f(x)>t\}\in\mathcal{M} 则称ff为EE上的（Lebesgue）可测函数，记为f∈M(E)f\in\mathcal{M}(E)。
  • M(E)\mathcal{M}(E)表示定义在EE上的可测函数全体，另定义M+(E)={f∈M(E):f≥0}\mathcal{M}^+(E)=\{f\in\mathcal{M}(E):f\geq 0\}（表示非负可测函数全体）
  • 若E⊂RnE\subset\R^n，则E∈M⟺χE(x)∈M(Rn)E\in\mathcal{M}\Longleftrightarrow\chi_E(x)\in\mathcal{M}(\R^n)。
  • 可测函数等价命题： f∈M(E)⟺∀t∈R1,{E[f≥t]∈ME[f<t]∈ME[f≤t]∈Mf\in\mathcal{M}(E)\Longleftrightarrow\forall t\in\R^1, \begin{cases} E[f\geq t]\in\mathcal{M}\\ E[f< t]\in\mathcal{M}\\ E[f\leq t]\in\mathcal{M} \end{cases}
  • 性质：
    • 若f,g∈M(E)f,g\in\mathcal{M}(E)，则 cf(c为常数),f+g,f⋅g,fg(g≠0),∣f∣,max⁡{f,g},min⁡{f,g}\begin{aligned} &cf(c\text{为常数}),\quad f+g,\quad f\cdot g,\quad \frac{f}{g}(g\neq 0),\\ &|f|,\quad\max\{f,g\},\quad\min\{f,g\} \end{aligned} 均为EE上可测函数。
    • 若fn∈M(E),n≥1f_n\in\mathcal{M}(E),n\geq 1，则 sup⁡n≥1fn,inf⁡n≥1fn,lim‾⁡n→∞fn,lim‾⁡n→∞fn,lim⁡n→∞fn\sup_{n\geq 1}f_n,\quad\inf_{n\geq 1}f_n,\quad\varlimsup_{n\to\infty}f_n,\quad\varliminf_{n\to\infty}f_n,\quad\lim_{n\to\infty}f_n 均为EE上可测函数。

简单函数

  • 定义：有限个示性函数的线性组合。
  • 形式： f(x)=∑k=1makχEk(x)={a1,x∈E1⋮am,x∈Em\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^ma_k\chi_{E_k}(x)=\begin{cases} a_1,x\in E_1\\\vdots\\a_m,x\in E_m \end{cases} 其中m≥1,Ek⊂E=∑k=1mEk\displaystyle m\geq 1,E_k\subset E=\sum_{k=1}^mE_k（EkE_k两两不交），称ff为定义在EE上的简单函数。
  • 当EkE_k为矩体时，称ff为阶梯函数。
  • 若Ek∈ME_k\in\mathcal{M}（k=1,2,⋯ ,mk=1,2,\cdots,m），则f∈M(E)f\in\mathcal{M}(E)。
  • 记MS(E)={f∈M(E):f\mathcal{MS}(E)=\{f\in\mathcal{M}(E):f为简单函数}\}，MS+(E)={f∈MS(E):f≥0}\mathcal{MS}^+(E)=\{f\in\mathcal{MS}(E):f\geq 0\}（非负简单可测函数）
    • 若f,g∈MS(E)f,g\in\mathcal{MS}(E)，则f+g∈MS(E)f+g\in\mathcal{MS}(E)。

可测函数逼近定理

  • 设f∈M+(E)f \in \mathcal{M}^+(E)，则存在EE上的非负简单可测函数列{ϕk,k≥1}\{ \phi_k, k \geq 1 \}，使得对任意的x∈Ex \in E, ϕk(x)≤ϕk+1(x),lim⁡k→∞ϕk(x)=f(x).\phi_k(x) \leq \phi_{k+1}(x), \quad \lim_{k \to \infty} \phi_k(x) = f(x).
  • 设f∈M(E)f \in \mathcal{M}(E)，则存在EE上的简单可测函数列{ψk,k≥1}\{ \psi_k, k \geq 1 \}，满足 ∣ψk(x)∣≤∣f(x)∣,lim⁡k→∞ψk(x)=f(x),x∈E.|\psi_k(x)| \leq |f(x)|, \quad \lim_{k \to \infty} \psi_k(x) = f(x), \quad x \in E.

若ff有界，上述收敛还是一致的。

  • 由此可知，任何收敛的可测简单函数列的极限函数一定是可测函数。

可测函数的收敛性

  • “几乎处处”的刻画
    • 设P(x)P(x)是一个与x∈Ex \in E有关的命题，若m({x∈E;P(x)m(\{x \in E; P(x)不成立})=0\}) = 0，称P(x)P(x)几乎处处成立，记为P(x)a.e. x∈EP(x)\mathrm{a.e.}\,x \in E成立。
    • 定义在EE上的可测函数ff与gg几乎处处相等⟺m({x∈E:f(x)≠g(x)})=0\Longleftrightarrow m(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\}) = 0；
    • 定义在EE上的可测函数ff几乎处处有限⟺m({x∈E:∣f(x)∣=∞})=0\Longleftrightarrow m(\{x \in E: |f(x)| = \infty\}) = 0。
  1. 几乎处处收敛
    设f,fn,n≥1f, f_n, n \geq 1为定义在EE上的广义实值函数，若存在N⊂EN \subset E，有m(N)=0m(N) = 0，且 lim⁡n→∞fn(x)=f(x),x∈E∖N,\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x), \quad x \in E \setminus N, 则称{fn,n≥1}\{f_n, n \geq 1\}在EE上几乎处处收敛到ff，记为 fn(x)→f(x),a.e. x∈E.f_n(x) \to f(x), \quad \text{a.e.} \, x \in E. 或简记为fn→a.e.ff_n \xrightarrow{\text{a.e.}} f。
  2. 几乎一致收敛
    设f,fn,n≥1f, f_n, n \geq 1为定义在EE上的广义实值函数，若对任意的δ>0\delta > 0，存在Eδ⊂EE_\delta \subset E，满足m(Eδ)≤δm(E_\delta) \leq \delta，且{fn,n≥1}\{f_n, n \geq 1\}在E∖EδE \setminus E_\delta上一致收敛于ff，则称{fn,n≥1}\{f_n, n \geq 1\}在EE上几乎一致收敛到ff，记为 fn(x)→f(x),a.un. x∈E.f_n(x) \to f(x), \quad \text{a.un.} \, x \in E. 或简记为fn⟶a.un.ff_n \stackrel{\text{a.un.}}{\longrightarrow} f.
  3. 依测度收敛
    设f,fn,n≥1f, f_n, n \geq 1为定义在EE上的几乎处处有限的可测函数，对任意给定的ε>0\varepsilon > 0，记 Ek(ε)={x∈E:∣fk(x)−f(x)∣≥ε},k=1,2,⋯ .E_k(\varepsilon) = \{x \in E : |f_k(x) - f(x)| \geq \varepsilon\}, \quad k = 1, 2, \cdots. 若当n→∞n \to \infty时，m(En(ε))→0m(E_n(\varepsilon)) \to 0，则称{fn,n≥1}\{f_n, n \geq 1\}在EE上依测度收敛到ff，记为 fn(x)→mf(x),x∈E.f_n(x) \xrightarrow{m} f(x), \quad x \in E. 或简记为fn→mff_n \xrightarrow{m} f（或fn⇒ff_n \Rightarrow f）。

收敛性之间的关系

收敛性关系

依测度收敛性质

  • 设E⊂RnE \subset \mathbb{R}^n为可测集，f,g,fn,gn,n=1,2,…f, g, f_n, g_n, n = 1, 2, \dots，皆为定义在EE上几乎处处有限的可测函数。
    1. 设fn→mf,gn→mgf_n \xrightarrow{m} f, g_n \xrightarrow{m} g，则对任意的实数α\alpha和β\beta，有αfn+βgn→mαf+βg\alpha f_n + \beta g_n \xrightarrow{m} \alpha f + \beta g成立；
    2. 设fn→m0,gn→m0f_n \xrightarrow{m} 0, g_n \xrightarrow{m} 0，则fngn→m0f_n g_n \xrightarrow{m} 0；
    3. 设m(E)<∞m(E) < \infty且fn→mff_n \xrightarrow{m} f，则fngn→mfgf_n g_n \xrightarrow{m} f g；
    4. 设m(E)<∞m(E) < \infty且fn→mf,gn→mgf_n \xrightarrow{m} f, g_n \xrightarrow{m} g，则fngn→mfgf_n g_n \xrightarrow{m} f g。

可测函数与连续函数

  • 若E⊂M,f∈C(E)E\subset\mathcal{M},f\in\mathcal{C}(E)，则ff是EE上的可测函数（f∈M(E)f\in\mathcal{M}(E)）
  • 引理：设F1,⋯ ,FmF_1,\cdots,F_m为闭集，F=∑k=1mFk\displaystyle F=\sum_{k=1}^mF_k，则f(x)=∑k=1makχFk(x)\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^ma_k\chi_{F_k}(x)为FF上的连续函数。
  • Lusin定理：设ff为EE上几乎处处有限的可测函数，则任意δ>0\delta>0，存在闭集Eδ⊂EE_\delta\subset E，使f∈C(Eδ)f\in\mathcal{C}(E_\delta)且m(E∖Eδ)<δm(E\setminus E_\delta)< \delta。
    • 推论（结合连续函数延拓）：设E⊂Rn,f∈M(E)E\subset\R^n,f\in\mathcal{M}(E)，则对任意ϵ>0\epsilon>0，存在g∈C(Rn)g\in\mathcal{C}(\R^n)使m({x∈E:f(x)≠g(x)})<ϵm(\{x\in E:f(x)\neq g(x)\})< \epsilon，且如果ff有界，则gg有界。
  • 支集：设ff为定义在E⊂RnE\subset\R^n上的函数，则称集合{x∈E:f(x)≠0}\{x\in E:f(x)\neq 0\}的闭包为ff的支集（也称支撑集），记为supp(f)\text{supp}(f)。
    • 若supp(f)\text{supp}(f)有界（即为紧集），则称ff为有紧支集的函数。
  • 推论的推论：设E⊂RnE\subset\R^n有界，f∈M(E)f\in\mathcal{M}(E)，则对任意ϵ>0\epsilon>0，存在g∈C(Rn)g\in\mathcal{C}(\R^n)且有紧支集，满足m({x∈E:f(x)≠g(x)})<ϵm(\{x\in E:f(x)\neq g(x)\})< \epsilon。
    • 由此可得可测函数“差不多”是连续函数。

可积函数

Lebesgue积分的定义和性质

  1. 非负简单可测函数（f∈MS+(E)f\in\mathcal{MS}^+(E)）
    • 设f=∑k=1makχEk(x)\displaystyle f=\sum_{k=1}^m a_k\chi_{E_k}(x)，定义ff在EE上的Lebesgue积分 ∫Ef(x)dx=∑k=1mak⋅m(Ek)\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^m a_k\cdot m(E_k)
    • 注：积分的计算不依赖ff的表达式（即EkE_k的取法）
    • 单调性：若MS+(E),f≤g a.e.\mathcal{MS}^+(E),f\leq g\, \text{a.e.}，则∫Ef≤∫Eg\displaystyle \int_Ef\leq\int_Eg。
  2. 非负可测函数（f∈M+(E)f\in\mathcal{M}^+(E)）
    • 使用非负简单可测函数列逼近： {fn(x),n≥1}⊂MS+(E),f1(x)≤⋯≤fn(x)≤⋯ ,lim⁡n→∞fn(x)=f(x)\{f_n(x),n\geq 1\}\subset\mathcal{MS}^+(E),\quad f_1(x)\leq\cdots\leq f_n(x)\leq\cdots,\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) 上述条件也记为fn↑f a.e. x∈Ef_n\uparrow f\ \text{a.e.} \ x\in E。
    • 定义lim⁡n→∞∫Efn(x)dx\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\mathrm{d}x为ff在EE上的Lebesgue积分，同样记为∫Ef(x)dx\displaystyle\int_{E}f(x)\mathrm{d}x。
    • 非负可测函数的Lebesgue积分一定存在，且不依赖{fn(x)}\{f_n(x)\}的选取。事实上，对任意单调非负简单可测函数列{fn,n≥1}\{f_n,n\geq 1\}满足fn↑f a.e. x∈Ef_n\uparrow f\ \text{a.e.} \ x\in E，有 lim⁡n→∞∫Efn(x)dx=sup⁡{∫Eg(x)dx:g∈MS+(E),g(x)≤f(x),x∈E}\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)\mathrm{d}x=\sup\left\{\int_Eg(x)\mathrm{d}x:g\in\mathcal{MS}^+(E),g(x)\leq f(x),x\in E\right\}
    • 同样有单调性（略）
  3. 所有可测函数（f∈M(E)f\in\mathcal{M}(E)）【记f+(x)=max⁡{f(x),0},f−(x)=max⁡{−f(x),0}f^+(x)=\max\{f(x),0\},f^-(x)=\max\{-f(x),0\}】
    • 如果∫Ef+(x)dx<∞\displaystyle\int_E f^+(x)\mathrm{d}x< \infty或∫Ef−(x)dx<∞\displaystyle\int_E f^-(x)\mathrm{d}x< \infty，则称ff的Lebesgue积分存在，记f∈L‾(E)f\in\overline{\mathcal{L}}(E)；若二者同时成立，则称ffLebesgue可积，记为f∈L(E)f\in\mathcal{L}(E)。
    • 在上述条件下，定义 ∫Ef(x)dx=∫Ef+(x)dx−∫Ef(x)−dx\int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f^+(x)\mathrm{d}x-\int_{E}f(x)^-\mathrm{d}x
    • 结论：
      1. L(E)⊂L‾(E),M+(E)⊂L‾(E)\mathcal{L}(E)\subset\overline{\mathcal{L}}(E),\mathcal{M}^+(E)\subset\overline{\mathcal{L}}(E)；
      2. 当m(E)<∞m(E)< \infty时，若E=∑k=1mEk, Ek∈M,f(x)=∑k=1makχEk(x)∈MS(E)\displaystyle E = \sum_{k=1}^m E_k, \, E_k \in \mathcal{M},f(x) = \sum_{k=1}^m a_k \chi_{E_k}(x) \in \mathcal{M}S(E)为定义在EE上的简单可测函数，则 ∫Ef(x)dx=∑k=1makm(Ek)\int_E f(x)\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^m a_km(E_k)
      3. 当m(E)<∞m(E) < \infty时，MS(E)⊂L(E)\mathcal{M}S(E) \subset \mathcal{L}(E)。

Lebesgue积分的性质

  1. 线性性：若f∈L‾(E) (L(E))f \in \overline{\mathcal{L}}(E)\ (\mathcal{L}(E))，c∈Rc \in \mathbb{R}，则cf∈L‾(E) (L(E))cf \in \overline{\mathcal{L}}(E)\ (\mathcal{L}(E))，且∫Ecf=c∫Ef\displaystyle\int_E cf = c \int_E f；
  2. 可加性：若f,g∈L‾(E) (L(E))f, g \in \overline{\mathcal{L}}(E)\ (\mathcal{L}(E))，∫Ef+∫Eg\displaystyle\int_E f + \int_E g有意义，则f+g∈L‾(E) (L(E))f + g \in \overline{\mathcal{L}}(E)\ (\mathcal{L}(E))且∫E(f+g)=∫Ef+∫Eg\displaystyle \int_E (f + g) = \int_E f + \int_E g；
  3. 单调性：设f,g∈L‾(E)f, g \in \overline{\mathcal{L}}(E)，若f(x)≤g(x) a.e. x∈Ef(x) \leq g(x) \ \text{a.e.} \ x \in E，则∫Ef≤∫Eg\displaystyle\int_E f \leq \int_E g；
  4. 定义域收缩：设F⊂E,F∈MF \subset E,F \in \mathcal{M}，则L‾(E)⊂L‾(F)\overline{\mathcal{L}}(E) \subset \overline{\mathcal{L}}(F)，L(E)⊂L(F)\mathcal{L}(E) \subset \mathcal{L}(F)且∫Ff(x)dx=∫E(f(x)χF(x))dx\displaystyle\int_F f(x) \mathrm{d}x = \int_E (f(x) \chi_F(x)) \mathrm{d}x；
  5. 积分域可加性：设A,B∈M,E=A+BA,B \in \mathcal{M},E = A + B，若f∈L‾(E)f \in \overline{\mathcal{L}}(E)，则∫Ef=∫Af+∫Bf\displaystyle\int_E f = \int_A f + \int_B f；
  6. 比较判别：设f∈M(E),g∈L(E)f \in \mathcal{M}(E),g \in \mathcal{L}(E)，且f(x)≤g(x) a.e. x∈Ef(x) \leq g(x) \ \text{a.e.} \ x \in E或者f(x)≥g(x) a.e. x∈Ef(x) \geq g(x) \ \text{a.e.} \ x \in E，则f∈L‾(E)f \in \overline{\mathcal{L}}(E)；
  7. 可积比较判别：设f∈M(E),g∈L(E)f \in \mathcal{M}(E),g \in \mathcal{L}(E)，且∣f(x)∣≤g(x) a.e. x∈E|f(x)| \leq g(x) \ \text{a.e.} \ x \in E，则f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E)；
  8. 有界可积：设f∈M(E),m(E)<∞f \in \mathcal{M}(E),m(E) < \infty，且∣f(x)∣≤M<∞ a.e. x∈E|f(x)| \leq M < \infty \ \text{a.e.} \ x \in E，则f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E)；
  9. 设f(x)=0 a.e. x∈Ef(x) = 0 \ \text{a.e.} \ x \in E，则对任意的A∈M,A⊂EA \in \mathcal{M},A \subset E，有∫Af=0\displaystyle\int_A f = 0；
  10. 设m(E)=0⟹∀f∈M(E),∫Ef=0\displaystyle m(E) = 0\Longrightarrow\forall f \in \mathcal{M}(E),\int_E f = 0；
  11. 绝对值积分：设f∈L‾(E)⟹∣∫Ef∣≤∫E∣f∣\displaystyle f \in \overline{\mathcal{L}}(E)\Longrightarrow\left| \int_E f \right| \leq \int_E |f|；
  12. 绝对可积等价：f∈L(E)⟺∣f∣∈L(E)\displaystyle f \in \mathcal{L}(E)\Longleftrightarrow|f| \in \mathcal{L}(E)。
    • 注：此性质为与黎曼积分的最大差别：黎曼积分绝对值可积推不出原函数可积。
  • 切比雪夫不等式：设f∈M(E)f\in\mathcal{M}(E)，对任意ϵ>0\epsilon>0，记Eϵ={x∈E:∣f(x)∣≥ϵ}E_\epsilon=\{x\in E:|f(x)|\geq\epsilon\}，则 ϵ⋅m(Eϵ)≤∫E∣f∣.\epsilon\cdot m(E_\epsilon)\leq\int_E|f|.
    • 推论1：若f∈M+(E)f\in\mathcal{M}^+(E)，则∫Ef=0⟹f(x)=0 a.e. x∈E\displaystyle\int_Ef=0\Longrightarrow f(x)=0 \ \text{a.e.} \ x \in E（即上述性质9逆命题成立）
    • 推论2：若f∈L(E)f\in\mathcal{L}(E)，则∣f(x)∣<∞ a.e. x∈E|f(x)|< \infty\ \text{a.e.} \ x \in E（ff几乎处处有限）
  • 积分的绝对连续性：若f∈L(E)f\in\mathcal{L}(E)，则∀ϵ>0,∃δ>0\forall\epsilon>0,\exists\delta>0使得当A⊂E,m(A)<δA\subset E,m(A)< \delta时，∫A∣f∣<ϵ\displaystyle\int_A|f|< \epsilon。

积分收敛定理

  1. Levi单调收敛定理：设{f,fn,n≥1}⊂M+(E)\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}^+(E)，且fn↑f a.e. x∈Ef_n \uparrow f\ \text{a.e.} \ x \in E，则 lim⁡n→∞∫Efn(x)dx=∫Ef(x)dx.\lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x = \int_E f(x)\mathrm{d}x.
    • 推论：
      1. 设{f,fn,n≥1}⊂M(E), fn↓f a.e. x∈E\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E),\,f_n \downarrow f\ \text{a.e.} \ x \in E，且f1∈L(E)f_1\in\mathcal{L}(E)，则上述结论同样成立；
      2. 设{f,fn,n≥1}⊂M(E), fn↑f a.e. x∈E\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E),\,f_n \uparrow f\ \text{a.e.} \ x \in E。函数g∈L(E)g \in \mathcal{L}(E)且对任意的n≥1,fn(x)≥g(x) a.e. x∈En \geq 1,f_n(x) \geq g(x)\ \text{a.e.} \ x \in E，则上述结论同样成立；
      3. （逐项积分）设{f,fn,n≥1}⊂M+(E)\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}^+(E)，则 ∫E∑n=1∞fn(x)dx=∑n=1∞∫Efn(x)dx.\int_E\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^\infty\int_E f_n(x)\mathrm{d}x.
      4. 设f∈L‾(E),A=∑n=1∞An⊂E\displaystyle f\in\overline{\mathcal{L}}(E),A=\sum_{n=1}^\infty A_n\subset E，则 ∫Af(x)dx=∑n=1∞∫Anf(x)dx.\int_A f(x)\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^\infty\int_{A_n} f(x)\mathrm{d}x.
  2. Fatou引理：设{f,fn,n≥1}⊂M+(E)\{f, f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}^+(E)，则 ∫Elim‾⁡n→∞fn(x)dx≤lim‾⁡n→∞∫Efn(x)dx.\int_E\varliminf_{n\to\infty}f_n(x)\mathrm{d}x\leq \varliminf_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)\mathrm{d}x.
    • 推论：设{fn,n≥1}⊂M(E)\{f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E)，则
      • 若存在函数g∈L(E)g \in \mathcal{L}(E)使得fn≥g a.e.f_n \geq g\ \text{a.e.}，则 ∫Elim‾⁡n→∞fn(x)dx≤lim‾⁡n→∞∫Efn(x)dx.\int_E \varliminf_{n \to \infty} f_n(x) \mathrm{d}x \leq \varliminf_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x.
      • 若存在函数h∈L(E)h \in \mathcal{L}(E)使得fn≤h a.e.f_n \leq h\ \text{a.e.}，则 ∫Elim‾⁡n→∞fn(x)dx≥lim‾⁡n→∞∫Efn(x)dx.\int_E \varlimsup_{n \to \infty} f_n(x) \mathrm{d}x \geq \varlimsup_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x.

      由此推论可得下述控制收敛定理。

  3. 控制收敛定理：设{fn,n≥1}⊂M(E)\{f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E)，且存在函数g∈L(E)g \in \mathcal{L}(E)使得∣fn∣≤g a.e.|f_n| \leq g\ \text{a.e.}。若fn⟶a.e.ff_n\stackrel{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f或fn⟶mff_n\stackrel{m}{\longrightarrow}f，则f∈L(E)f\in\mathcal{L}(E)且 lim⁡n→∞∫Efn(x)dx=∫Ef(x)dx.\lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x = \int_E f(x)\mathrm{d}x.
    • 推论1（有界收敛定理）：设{fn,n≥1}⊂M(E)\{f_n, n \geq 1\} \subset \mathcal{M}(E)，且存在常数M>0M>0使得∣fn∣≤M a.e.|f_n| \leq M\ \text{a.e.}。若fn⟶a.e.ff_n\stackrel{\text{a.e.}}{\longrightarrow}f或fn⟶mff_n\stackrel{m}{\longrightarrow}f，则f∈L(E)f\in\mathcal{L}(E)且 lim⁡n→∞∫Efn(x)dx=∫Ef(x)dx.\lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x = \int_E f(x)\mathrm{d}x.
    • 推论2（积分号下求导）：设f(x,y)f(x, y)是E×(a,b)E \times (a, b)上的广义实函数。固定yy时f(x,y)∈L(E)f(x, y) \in \mathcal{L}(E)；固定xx时导数fy′(x,y)=ddyf(x,y)\displaystyle f'_y(x, y) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} f(x, y)存在。若存在F(x)∈L(E)F(x) \in \mathcal{L}(E)使得∣fy′(x,y)∣≤F(x)|f'_y(x, y)| \leq F(x)对任意的(x,y)∈E×(a,b)(x, y) \in E \times (a, b)都成立，则函数I(y)=∫Ef(x,y)dx\displaystyle I(y) = \int_E f(x, y)\mathrm{d}x可导，且 ddyI(y)=∫Efy′(x,y)dx,\frac{d}{dy} I(y) = \int_E f'_y(x, y)\mathrm{d}x, 即 ddy(∫Ef(x,y)dx)=∫E(ddyf(x,y))dx.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( \int_E f(x, y)\mathrm{d}x \right) = \int_E \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} f(x, y) \right) \mathrm{d}x.

可积函数与连续函数

  • 定理：设f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E)，则对任意的ε>0\varepsilon > 0，存在函数g∈MS(E)∩L(E)g \in \mathcal{MS}(E) \cap \mathcal{L}(E)且 ∫E∣f(x)−g(x)∣dx<ϵ\int_E |f(x) - g(x)|\mathrm{d}x < \epsilon 成立。
    • 上述定理中将gg的限制改为Rn\R^n上的连续函数，则结论仍然成立。
  • 由此可得可积函数“差不多”是可测函数。

Lebesgue积分与Riemann积分

  • 黎曼可积函数特征
    1. 设ff为[a,b][a,b]上有界实值函数，则f∈R[a,b]f\in\mathcal{R}[a,b]（黎曼可积）当且仅当{x∈[a,b]:x\{x\in[a,b]:x为ff上的不连续点}\}为零测集。
    2. 若f∈R[a,b]f\in\mathcal{R}[a,b]，则f∈L[a,b]f\in\mathcal{L}[a,b]且 (L)∫[a,b]f(x)dx=(R)∫[a,b]f(x)dx(\mathcal{L})\int_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x=(\mathcal{R})\int_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x
  • Lebesgue积分与Riemann积分的关系：设ff为定义在区间[a,∞)[a, \infty)上的实值函数，且对任意的b>ab > a，ff在[a,b][a, b]上有界且几乎处处连续，则 (L)∫[a,∞)∣f(x)∣dx=(R)∫a∞∣f(x)∣dx(\mathcal{L}) \int_{[a, \infty)} |f(x)| \mathrm{d}x = (\mathcal{R}) \int_a^\infty |f(x)| \mathrm{d}x 即ff在[a,∞)[a, \infty)上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分(R)∫a∞f(x)dx\displaystyle(\mathcal{R}) \int_a^\infty f(x) \mathrm{d}x绝对收敛。
    当(R)∫a∞f(x)dx\displaystyle(\mathcal{R}) \int_a^\infty f(x) \mathrm{d}x绝对收敛时， (L)∫[a,∞)f(x)dx=(R)∫a∞f(x)dx.(\mathcal{L}) \int_{[a, \infty)} f(x) \mathrm{d}x = (\mathcal{R}) \int_a^\infty f(x) \mathrm{d}x.

    即如果函数ff在一个区间上勒贝格&黎曼可积，则两个积分值相同。

Fubini定理

  • 设f∈L(R2)f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)，则
    1. 对几乎所有的x∈Rx \in \mathbb{R}，f(x,y)f(x, y)作为yy的函数 Lebesgue 可积；
    2. I(x)≜∫Rf(x,y)dy∈L(R1)\displaystyle I(x) \triangleq \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \mathrm{d}y \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^1)；
    3. ∫RI(x)dx=∫R2f(x,y)dxdy\displaystyle \int_{\mathbb{R}} I(x) \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y。
    • 此定理可推广至x∈Rp,y∈Rq⟹f(x,y)∈L(Rp+q)x\in\R^p,y\in\R^q\Longrightarrow f(x,y)\in\mathcal{L}(\R^{p+q})；
    • 定义域可限制为E⊂R2E\subset\R^2（f∈L(E)f\in\mathcal{L}(E)）；
  • 推论（重积分变量交换）：若f∈L(R2)f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)，则 ∫Rdx∫Rf(x,y)dy=∫Rdy∫Rf(x,y)dx\int_{\mathbb{R}} dx \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}y \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \mathrm{d}x
  • 其有一个“母定理”——Tonelli定理如下：设f∈M+(R2)f \in \mathcal{M}^+(\mathbb{R}^2)，则
    1. 对几乎所有的x∈Rx \in \mathbb{R}，f(x,y)f(x, y)作为yy的函数 Lebesgue 可测；
    2. I(x)≜∫Rf(x,y)dy\displaystyle I(x) \triangleq \int_{\mathbb{R}} f(x, y) \mathrm{d}y几乎处处存在，且I(x)∈M+(R1)I(x) \in \mathcal{M}^+(\mathbb{R}^1);
    3. ∫RI(x)dx=∫R2f(x,y)dxdy\displaystyle\int_{\mathbb{R}} I(x) \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y。

微分与积分

本章主要目标是将黎曼积分的牛顿莱布尼茨公式推广到Lebesgue积分上。

单调函数与有界变差函数

  • 设ff为[a,b][a,b]上的单调函数，则ff的不连续点全体为可数集。
    • 推论：若ff为[a,b][a,b]上的单调函数，则f∈R[a,b]f\in\mathcal{R}[a,b]，进而f∈L[a,b]f\in\mathcal{L}[a,b]。
  • 单调函数可微性定理：设ff为[a,b][a,b]上单调不减的实值函数，则ff在[a,b][a,b]上几乎处处可微，导函数f′∈L[a,b]f'\in\mathcal{L}[a,b]且∫abf′(x)dx≤f(b)−f(a)\displaystyle\int_a^bf'(x)\mathrm{d}x\leq f(b)-f(a)。
  • 有界变差函数定义：设ff为定义在[a,b][a, b]上的实值函数，P={xi,i=0,1,⋯ ,n}P = \{x_i, i = 0, 1, \cdots, n\}为[a,b][a, b]的任一分割，且a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b。我们称 Vf(P)=∑i=1n∣f(xi)−f(xi−1)∣V_f(P) = \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})| 为ff关于分割PP的变差。称 ⋁ab(f)=sup⁡{Vf(P):P 为 [a,b] 的分割}\bigvee_a^b (f) = \sup\{V_f(P) : P \text{ 为 } [a, b]\text{ 的分割}\} 为ff在[a,b][a, b]上的全变差。
    若V(f)<∞V(f) < \infty，称ff为[a,b][a, b]上的有界变差函数，记为f∈BV[a,b]f \in\mathcal{BV}[a, b](即BV[a,b]\mathcal{BV}[a, b]表示[a,b][a, b]上的有界变差函数的全体组成的集合)。
  • 有界变差函数性质：
    • 若f∈BV[a,b]f \in\mathcal{BV}[a, b]，则ff有界，且对任意实数α\alpha，αf∈BV[a,b]\alpha f\in\mathcal{BV}[a,b]且⋁ab(αf)=∣α∣⋁ab(f)\displaystyle\bigvee_a^b(\alpha f)=|\alpha|\bigvee_a^b(f)；
    • 若f,g∈BV[a,b]f,g \in\mathcal{BV}[a, b]，则
      • f+g∈BV[a,b]f+g\in\mathcal{BV}[a, b]且⋁ab(f+g)≤⋁ab(f)+⋁ab(g)\displaystyle\bigvee_a^b(f+g)\leq \bigvee_a^b(f)+\bigvee_a^b(g)；
      • f⋅g∈BV[a,b]f\cdot g\in\mathcal{BV}[a, b]。
    • 设ff为[a,b][a,b]上的实值函数，则对任意c∈(a,b),⋁ab(f)=⋁ac(f)+⋁cb(f)c\in(a,b),\displaystyle\bigvee_a^b(f)=\bigvee_a^c(f)+\bigvee_c^b(f)。
    • 单调函数一定是有界变差函数；连续函数不一定是有界变差函数。
  • 全变差函数定义：设f∈BV[a,b]f\in\mathcal{BV}[a, b]，则ff上的全变差函数为Tf(x)≔⋁ax(f),x∈[a,b]\displaystyle T_f(x)\coloneqq\bigvee_a^x(f),x\in[a,b]。由此可知全变差函数一定非负且关于xx单调不减。
    • 性质：ff在x∈[a,b]x\in [a,b]上左（右）连续TfT_f在x∈[a,b]x\in[a,b]处左（右）连续。
  • Jordan分解定理：函数f∈BV[a,b]⟺ff\in\mathcal{BV}[a,b]\Longleftrightarrow f可表示为[a,b][a,b]上两个单调不减函数之差。
    • 推论：设f∈BV[a,b]f\in\mathcal{BV}[a,b]，则
      • ff在[a,b][a,b]上几乎处处连续；
      • f∈R[a,b]f\in\mathcal{R}[a,b]；
      • ff在[a,b][a,b]上几乎处处可微且f′∈L[a,b]f'\in\mathcal{L}[a,b]。

微积分基本定理

  • 绝对连续函数定义：设ff为定义在[a,b][a, b]上的实值函数，若任意的ϵ>0\epsilon > 0，存在δ>0\delta > 0，使得对[a,b][a, b]中的任意有限个互不相交的开子区间{(ai,bi):i=1,2,…,n}\{(a_i, b_i) : i = 1, 2, \dots, n\}，当∑i=1n(bi−ai)<δ\displaystyle\sum_{i=1}^n (b_i - a_i) < \delta时，都有∑i=1n∣f(bi)−f(ai)∣<ϵ\displaystyle\sum_{i=1}^n |f(b_i) - f(a_i)| < \epsilon成立，我们称ff为[a,b][a, b]上的绝对连续函数，记为f∈AC[a,b]f \in\mathcal{AC}[a, b]。
    • 绝对连续函数一定一致连续，故也是连续函数（AC[a,b]⊂C[a,b]\mathcal{AC}[a,b]\subset\mathcal{C}[a,b]）；
    • AC[a,b]\mathcal{AC}[a,b]为线性空间，即对数乘运算和加法运算封闭；
    • 定义在[a,b][a,b]上利普希茨连续函数是绝对连续函数。
  • 其他性质：
    • 设f∈L[a,b]f\in\mathcal{L}[a,b]，则函数F(x)=∫axf(t)dt∈AC[a,b]\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\in\mathcal{AC}[a,b]。
    • 定义在[a,b][a,b]上绝对连续函数一定是有界变差函数（AC[a,b]⊂BV[a,b]\mathcal{AC}[a,b]\subset\mathcal{BV}[a,b]）；
      • 推论：若f∈AC[a,b]f\in\mathcal{AC}[a,b]，则ff在[a,b][a,b]上几乎处处可微且f′∈L[a,b]f'\in\mathcal{L}[a,b]。
    • 设f∈AC[a,b]f\in\mathcal{AC}[a,b]，则Tf∈AC[a,b]T_f\in\mathcal{AC}[a,b]。反之，若f∈BV[a,b]f\in\mathcal{BV}[a,b]且Tf∈AC[a,b]T_f\in\mathcal{AC}[a,b]，则f∈AC[a,b]f\in\mathcal{AC}[a,b]。
  • 积分与微分转换：设f∈L[a,b]f\in\mathcal{L}[a,b]，则F(x)=∫axf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t在[a,b][a,b]上几乎处处可微，且F′(x)=f(x) a.e. x∈[a,b]F'(x)=f(x)\,\text{a.e.}\,x\in[a,b]。
  • 设f∈AC[a,b]f\in\mathcal{AC}[a,b]，f′(x)=0 a.e. x∈[a,b]f'(x)=0\,\text{a.e.}\,x\in[a,b]，则ff恒为常数。
  • 微积分基本定理：设ff为定义在[a,b][a,b]上的实值函数，则 Newton-Leibniz 公式 ∫axf′(t)dt=f(x)−f(a)\int_a^xf'(t)\mathrm{d}t=f(x)-f(a) 成立的充要条件是f∈AC[a,b]f\in\mathcal{AC}[a,b]。
  • 分部积分公式：设f,g∈AC[a,b]f,g\in\mathcal{AC}[a,b]，则 ∫abf(x)g′(x)dx=f(b)g(b)−f(a)g(a)−∫abf′(x)g(x)dx.\int_a^bf(x)g'(x)\mathrm{d}x=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bf'(x)g(x)\mathrm{d}x.