Souyer's Archive

主成分分析（PCA）是一种数据降维方法，通过寻找标准正交向量组，使数据投影后保留最大信息量，其最优解为协方差矩阵最大特征值对应的特征向量。奇异值分解（SVD）是PCA的推广，将任意矩阵分解为旋转、缩放和旋转的组合，其构造基于对称矩阵的特征分解。低秩近似利用SVD截断保留主要奇异值，在Frobenius范数和谱范数下均能最优逼近原矩阵，实现数据压缩。

本文介绍了数据分析中的随机抽样与模拟实验方法。首先通过Python和R代码示例展示了如何从总体中进行简单随机抽样，并说明了布尔值比较及`np.count_nonzero()`统计非零项的技巧。随后阐述了模拟实验的四个基本步骤，并以抛硬币实验为例，通过20000次重复模拟验证了正面次数在50次附近呈对称分布。最后，文章用三门问题这一经典概率悖论展示了模拟实验的应用价值，通过10000次模拟证实换门可将中奖概率从约1/3提升至约2/3，直观验证了概率理论。

本文深入探讨了Scheme语言解释器的构建过程，以Python为工具，从基础的四则运算计算器入手，逐步实现完整的Scheme解释器。文章详细介绍了表达式树的构建、词法与句法分析、求值器实现及读取-求值-打印循环（REPL）等核心组件，并进一步扩展到环境帧管理、尾递归优化、数据即程序的哲学理念及宏定义等高级主题，全面展示了解释器的工作原理与实现技巧。

这篇文章整理了茆诗松教材中关于统计量及其分布、参数估计和假设检验三章的习题及补充题，涵盖不放回抽样样本均值性质、经验分布函数、样本方差分布、次序统计量、卡方与t分布联系等理论证明，以及矩估计、极大似然估计、UMVUE、置信区间和假设检验等计算与应用题，并附有详细解答。

本文介绍了函数在数据处理中的进阶用法，重点讲解如何将函数作用于数据列。以Python的`apply`和R语言的`sapply`为例，演示了将无法直接处理数组的函数（如取较小值）应用于列的方法。随后通过经典的身高预测案例，展示了基于父母平均身高预测子女身高的过程，包括数据提取、散点图可视化、局部平均预测法及函数封装。预测结果近似呈直线，即回归线，该研究源于高尔顿的回归分析，并催生了均值回归理论。