注1：从这一节开始，本笔记内容主要基于《人工智能导论：模型与算法》（吴飞）及其课件撰写。
注2：由于本节内容较多，故分为上下两部分，下部分请见：人工智能导论 Ch.4 逻辑与推理（下）
注3：本节概念性较强，涉及比较多的离散数学，概率统计等内容，如果觉得比较困难可以暂时跳过，或先进行相关知识的学习(如CS70)后再回顾。

逻辑与推理是人工智能的核心问题

  • 人类思维活动的一个重要功能是逻辑推理，即通过演绎和归纳等手段对现有观测现象进行分析，得出判断。
  • 给人工智能（尤其是大模型）施加逻辑推理的管理可以有效降低其幻觉。

符号主义人工智能

  • 在人工智能发展初期，脱胎于逻辑推理的 符号主义人工智能(symbolic AI) 是人工智能研究的一种主流学派。
  • 在符号主义人工智能中，所有概念均可通过人类可理解的“符号”及符号之间的关系来表示。
    • 例如：如果使用符号来表示对象概念，来表示某个对象是否为“汽车”，那么表示“是一辆轿车”这样的概念。
    • 注意由对象和两部分所构成。如果是轿车，则为正确描述，否则为错误描述。
  • 符号主义人工智能方法基于如下假设：
    • 可通过逻辑方法来对符号及其关系进行计算，实现逻辑推理，解析符号所描述内容是否正确。
  • Neuro-symbolic(神经符号)：将神经网络和符号主义人工智能相结合的混合AI，可以将神经网络与符号主义的优势相结合。
  • 更多有关符号主义人工智能的介绍可参考以下链接：符号主义人工智能-东南大学

记忆——逻辑推理的核心

  • 包括以下三种记忆：
  • 瞬时记忆（感觉记忆） 工作记忆（短时记忆） 长时记忆
    获得方式 多通道感知 直觉、顿悟、因果等推理 先验、知识等
    持续时间
  • 关系图：记忆

命题逻辑(Propositional Logic)

  • 是应用一套形式化规则对以符号表示的描述性陈述进行推理的系统。
  • 在命题逻辑中，一个或真或假的描述性陈述被称为原子命题，对原子命题的内部结构不做任何解析。
  • 若干原子命题可通过逻辑运算符来构成复合命题。
  • 更多有关命题逻辑的解释，大部分可参见CS70 Chapter1相关内容：CS70 Chapter1，这里只进行一些补充：
  1. 双向蕴含（）的真值表：
    • F F T
      F T F
      T F F
      T T T
    • 事实上，双向蕴含等价于： ，或者“异或非”（在逻辑代数中）
  2. 一些逻辑等价定律（除了CS70 Chapter1和上面提到的）：
    • 交互律： ,
    • 结合律： ,
    • 双重否定：
    • 分配律： ,
  3. 命题逻辑中的推理规则（以下“”的意思是：如果前面的命题都成立，那么后面的命题也成立）
    • 假言推理(modus ponens): (即已知如果那么，现在有，于是)
    • 与消解(and-elimination):
    • 与导入(and-introduction):
    • 双重否定(double-negation elimination):
    • 单项消解或单项归结(unit resolution): (即已知要么要么，现在不是，那就是)
    • 消解或归结(resolution):
      • (即无论如何，都可以推出和之一)
      • (特别地，当为恒假命题时转化为单项消解或单项归结)
      • 一般形式：
    • 应用例：
      • 已知三个命题成立,证明命题成立
      • 证明过程：
      • 编号 命题 如何得到
        1 第1个条件
        2 第2个条件蕴含消除
        3 第3个条件蕴含消除
        4 假设命题不成立
        5 1和3归结
        6 2和4归结
        7 3和4归结
        8 5和7归结（推出矛盾）
      • 结论：假设不成立，命题成立
    • 另外，如果在归结过程中出现命题和它的否命题同时成立，就说明条件无法同时满足（contradiction）。
  4. 命题范式
    范式是把命题公式化归为一种标准的形式，范式最大的作用是可以进行两个命题的等价判定。
    • 有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式(disjunctive form)
    • 由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式(conjunctive form)
    • 例：
      • 若均为析取式，则为合取范式
      • 若均为合取式，则为析取范式
      • 简单来讲就是析代表或，合代表与
    • 析取范式与合取范式统称为范式（normal form）
    • 范式的性质：
      • 一个析取范式是不成立的，当且仅当它的每个简单合取式都不成立。
      • 一个合取范式是成立的，当且仅当它的每个简单析取式都是成立的。
      • 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式（注意：命题公式的析取范式与合取范式都不是唯一的）
    • （其实有点像数字逻辑里的最大项与最小项以及逻辑代数标准表达式）

谓词逻辑(Predicate Logic)

命题逻辑的局限性

在命题逻辑中，每个陈述句是最基本的单位（即原子命题），无法对原子命题进行分解。因此在命题逻辑中，不能表达局部与整体、一般与个别的关系。

  • 例如，对于苏格拉底的论断，虽然知道是正确的，但无法通过命题逻辑来进行推理判断。
    • ：所有的人总是要死的
      ：苏格拉底是人
      ：所以苏格拉底是要死的
    • 如果写成命题逻辑的形式，为，但这不是有效的逻辑推理
    • 所以这种命题无法在命题逻辑的基础上进行推导
  • 根源： 不同原子命题蕴含个体、群体和关系等内在丰富语义，命题逻辑无法表现内在丰富语义。因此，需要分析原子命题，分离其主语（个体或群体）和谓语（关系）。
    • 也就是说，需要引入更加强大的逻辑表示方法，这就是谓词逻辑
  • 在谓词逻辑中，将原子命题进一步细化，分解出个体、谓词和量词，来表达个体与总体的内在联系和数量关系，这就是谓词逻辑的研究内容。

谓词逻辑中的核心概念

  • 个体（variable）、谓词（predicate）和量词（quantifier）

谓词与个体

  1. 个体： 个体是指所研究领域中可以独立存在的具体或抽象的概念。
  2. 谓词： 谓词是用来刻画个体属性或者描述个体之间关系存在性的元素，其值为真或为假。
  • 包含一个参数的谓词称为一元谓词，表示一元关系。包含多个参数的谓词称为多元谓词，表示个体之间的多元关系。
  • 例子：
    • 表示：
    • 是谓词，是个体词，故称为变量，的具体取值叫个体常项。比如和使得谓词为假。
    • 个体的取值范围为个体域。
  • 一般用大写字母等来表示谓词。上述描述了是否存在一个数，这个数小于自身平方这种关系。
  • 谓词中可以有若干个个体变量，如表示是父亲。
  • 是一元谓词（包含一个个体），被称为n元谓词（包含若干个体）。
  • 谓词与函数的区别：
    • 函数中个体变元用个体常量（来自定义域）代入后结果仍是[个体（值域）]{.red}，如定义函数，则
    • 谓词中个体变元用个体常量带入后就变成了命题，如（是车）这个谓词中用吉普车代替，则是命题。
    • 函数是从定义域到值域的映射；谓词是从定义域到的映射。

量词

  • 量词包括全称量词和存在量词。
  1. 全称量词(universal quantifier,)：
    • 全称量词用符号表示，表示一切的、凡是的、所有的、每一个等。
    • 表示定义域中的所有个体，表示定义域中的所有个体具有性质
  2. 存在量词(existential quantifier,)：
    • 存在量词用符号表示，表示存在、有一个、某些等。
    • 表示定义域中存在一个或若干个个体，表示定义域中存在一个个体或若干个体具有性质。

约束变元与自由变元

  1. 约束变元： 在全称量词或存在量词的约束条件下的变量符号称为约束变元。
  2. 自由变元： 不受全称量词或存在量词约束的变量符号称为自由变元。
  3. (直观理解就是和对应的变量是约束变元，其他变量都是自由变元)
  4. 更多关于量词的解释可见CS70 Chapter1

定理：

  1. 在约束变元相同的情况下，量词的运算满足分配律。
  2. 当公式中存在多个量词时，若多个量词都是全称量词或者都是存在量词，则量词的位置可以互换；若多个量词中既有全称量词又有存在量词，则量词的位置不可以随意互换。反例可以在高等数学/数学分析课本上找到

项，原子谓词公式与合式公式

  1. 项(term)： 描述对象的逻辑表达式，可由以下递归定义：
    • 常量符号与变量符号都是项；
    • 若是元函数符号，是项，那么是项；
    • 有限次数地使用上述规则产生的符号串是项。
  2. 原子谓词公式(atomic formula)： 若是元谓词，是项，那么是原子谓词公式，简称原子公式。
  3. 合式公式(well-formed formula)： 由逻辑联结词和原子公式构成的用于陈述事实的复杂语句，又称谓词公式。

推理规则

  • 设是谓词公式，和是变元，是常量符号，则存在如下谓词逻辑中的推理规则：
    1. 全称量词消去(Universal Instantiation, UI)：
    2. 全称量词引入(Universal Generalization, UG)：
    • 注：这里需为任意变元，不应该有存在量词或其他限制。
    1. 存在量词消去(Existential Instantiation, EI)：
    • 注：应为新的常量符号，在之前的逻辑推导中不应出现。
    1. 存在量词引入(Existential Generalization, EG)：
  • 具体的一个例子：
    • 前提：1)每架飞机或者停在地面或者飞在天空；2)并非每驾飞机都飞在天空
    • 结论：有些飞机停在地面
    • 形式化：：是飞机；：停在地面；：飞在天空
      • 已知:
      • 请证明：
    • 证明：
      1. （已知）
      2. （量词转换）
      3. （蕴含消除）
      4. （反演律）
      5. （EI）
      6. （由5知）
      7. （由5知）
      8. （已知）
      9. （UI）
      10. （由6和9知）
      11. （由7和10归结）
      12. （由6和11合取）
      13. （EG）

专家系统(expert system)

  • 早期人工智能的一个重要分支
  • 构成：知识库+推理机
    • 对某个领域的自然语言、文本语句等信息进行逻辑化表示(machine readable knowledge)形成知识库；
    • 对于新的问题，现将其逻辑化（使机器能理解），再输入进推理机中；
    • 推理机根据知识库和问题进行推理，输出答案。
  • 比较著名的专家系统有智能语音专家系统Siri、智能诊断系统MYCIN等。